Producto escalar de vectores

Dado un par de vectores arbitrarios:

, el producto escalar se define como una operación matemática que asocia a estos dos vectores un número real. Este número tiene una interpretación bien definida.

Definición del producto escalar

= |

| |

| cos

en palabras, el producto escalar entre dos vecores es igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo mas pequeño que ellos forman.

Por ejemplo, si

= 0 con

0 y

0 ==> cos

=0 ==>

= ±(2n-1)·

/2, donde n es un entero cualquiera. De acuerdo a la definición de producto escalar y al hecho de que la función coseno es par (cos

=cos(-

)), el ángulo que debemos considerar es

/2.

De aqui podemos concluir que:

= 0 ==>

_|_

si y no son idénticamente nulos, y · =0 entonces los vectores son perpendiculares.

Interpretación geométrica

Como el producto escalar es una multiplicación de los módulos de dos vectores, y la multiplicación es conmutativa, concluimos que el producto escalar, es conmutativo, no depende del orden de los factores, es decir:

Interpretación analítica

A traves de la definición de vector a traves de sus componentes, se define el producto escalar como:

= [ ax,ay ]·[ bx,by ] = ax·bx + ay·by

Esta definición de producto escalar es igual al la anterior, y al igual que ella es invariante, es decir, tiene el mismo valor en cualquier sistema de referencia.