С.А.Брейтфус, 1997.
Эволюция научного мировоззрения и кризис оснований математики
У статтi pозглянуто пpичини кpизи пiдвалин математики, як пеpехiд
до iнтенцiонального типу наукової твоpчостi i вказується на необгpунто-
ванiсть деклаpованого сучасними дослiдниками одного з положень кpизи -
намагання вiдpодити в математицi "вимогливiсть стаpодавнiх".
В данной статье мы дадим краткий анализ мировоззренческих позиций
ученых-математиков, которые были доминирующими для каждой ключевой
эпохи в развитии математической науки. Историки науки /Д.Стройк,
А.Г.Барабашев и др./ в качестве ключевых эпох, оказавших исключи-
тельное влияние на ее эволюцию, выделяют: эллинский период древнегре-
ческой цивилизации, позднее средневековье /XV в./; Новое время /XVII
в./ и, наконец, начало эпохи научно-технического прогресса /вторая по-
ловина XVIII в./. Нас также будет интересовать влияние европейских
мыслителей XVII - XVIII вв. /Р.Декарта и И.Канта/ на научное творчес-
тво, а точнее на выбор направлений и объектов исследования математика-
ми.
Хотя анализ мировоззрения крупных ученых, внесших решающий вклад в
развитие математики, представляет самостоятельный интерес, но для нас
это не самоцель, а лишь средство взглянуть по-иному на развитие собы-
тий в чистой математике, которые привели к кризису ее оснований /30 -е
гг. нашего столетия/.
Говоря о кризисе оснований математики, будем иметь в виду обнару-
женные в начале XX в. многочисленные парадоксы из теории множеств и
неудачные попытки формализации и логизации математики, предпринятые в
20 - 30 гг. нашего столетия.
Миропонимание ученых позволит нам обнаружить причины, подтолкнув-
шие математическую науку к обособлению от всего естественно-научного
комплекса и ее переориентации на чистое мышление. Такой подход к проб-
леме позволит нам проверить, насколько корректным является распрос-
траняемое учеными мнение о том, что кризис оснований математики явил-
ся лишь вполне закономерным и естественным следствием непрерывного
развития ее методов.
Мы беремся показать, что решающее влияние в переходе к поискам
обоснования математики сыграло прежде всего новое мировоззрение науч-
но-технической эпохи /вторая половина XIX в. - 30-е гг. XX в./, ко-
тоpое предопределило рациональную парадигму решения проблем оснований
математики. А говорить о поступательном развитии методов математики и
накоплению знаний как приведших к своему "логическому" завершению -
заострению внимания на "строгости" построения математических теорий,
по меньшей мере не совсем корректно. Не это стало основой парадигмы
предкризисной эпохи. При не менее выдающихся успехах математики в эл-
линский период, в позднем средневековье или в Новое время подобные
проблемы решались учеными несколько иначе. Поэтому нельзя рассматри-
вать исторические причины возникновения кризиса оснований математики
как обезличенный фатальный процесс развития ее методов, исключая из
поля зрения предрассудки и "мифы" соотвествующих эпох и их представи-
телей. В противном случае, без обращения к историко-философским источ-
никам кризиса оснований математики, он воспринимается как фатальный и
предполагает неизбежные парадоксы, непреодолимые в рамках породившего
их крайнего рационализма.
В первую очередь мы рассмотрим причины, приведшие к постановке
вопросов обоснования математики в трактовке самих математиков. (К при-
меру, в работах, посвященных вопросам оснований математики: [1], [2],
[3]). Они сводятся к трем независимым пунктам:
а/ чрезвычайное расширение предмета математики /включение неев-
клидовых геометрий и абстрактных алгебраических структур/;
б/ возвращение к дедуктивно-аксиоматическому методу изложения
теории /систематические усилия придерживаться "строгости древних" на-
чинают прилагаться во второй половине XIX в. /Коши, Вейерштрасс/;
в/ математизация логики /вклад различных математиков от Лейбница
до Фреге/ и обнаружение логических парадоксов в теории множеств Канто-
ра /начало XX в./.
Однако, этого явно недостаточно, чтобы объяснить столь массовое
внимание к вопросам обоснования. Не имея содержательного смысла ни для
теории, ни для практических нужд того времени, вопросы обоснования
стали такими актуальными, что поисками ответов на них занимались вы-
дающиеся умы этой науки: А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, Дж. фон Ней-
ман, А.Колмогоров, не считая ученых которые посвятили всю свою твор-
ческую деятельность поискам путей обоснования математики: Г.Фреге,
Э.Брауэр, П.Бернайс, Б.Рассел, К.Гедель, А.Гейтинг, Г.Генцен, А.Черч и
многие другие.
Анализ мировоззренческих позиций ученых позволит нам несколько по
иному взглянуть на этот феномен. Не исключено, что попытки обособить
математику от естественных наук и, более того, обосновать науку с по-
мощью математики, берут свои истоки в рационализме Нового времени.
Красноречивое подтверждение тому - цитата из декартовских "Правил для
руководства ума": "... должна существовать некая общая наука, объяс-
няющая все относящееся к порядку и мере, не входя в исследование ника-
ких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным,
но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей математики, ибо
она содержит в себе все то, благодаря чему другие науки называют час-
тями математики" 4.
Но рационализм Декарта, Лейбница и Спинозы не мог привести к копа-
нию в основаниях науки. Не обошлось и без влияния самого Иммануила
Канта, чья максима: "Имей мужество полагаться на свой собственный ра-
зум!" 5, внушала ученым оптимизм и безграничную веру в силу научного
мышления. Но не Кант "поставил последний камень" в фундамент "передо-
вого" научного мировоззрения. Сказалось влияние всей эпохи XVIII-XIX
вв. и страстные призывы ее "пророков" и скептиков строить свои убежде-
ния на земле без опоры на небесное.
Для Рене Декарта математика - Всеобщая Геометрия - была мыслью
творца, запечатленной в архитектуре созданного им мира. В "Рассужде-
ниях о методе" он говорит о существовании законов, в том числе и мате-
матических, "которые Бог установил в природе таким образом и понятия о
которых он запечатлел в наших душах так ярко, что при надлежащем раз-
мышлении о них мы не можем сомневаться в том, что они в точности соб-
людаются во всем, что существует или что совершается в мире" 6.
Для И.Ньютона же математика - скорее законы, по которым творец
сверяет и направляет все движущее во Вселенной. Отвечая на вопрос:
"Почему движение космических тел согласуется с гармонией математичес-
ких формул?", он поясняет: "Такое изящное соединение Солнца, планет и
комет не могло произойти иначе, как по намерению и власти могуществен-
нейшего и премудрого существа... Сей управляет всем не как душа мира,
а как властитель Вселенной и по господству своему должен именоваться
Господь Бог Вседержитель" 7.
Подобного мнения придерживались Галилей и Кеплер. К примеру, Кеп-
лер так объясняет применение геометрических методов в астрономии в
своем сочинении "Космографическая тайна": "Господь Бог был слишком
благостен, чтобы пребывать в празности, и принялся забавляться различ-
ными знаками, запечатляя свой образ и подобие в этом мире. Исходя из
этого я полагаю, что искусство геометрии символизирует всю природу и
прекрасное небо...
В этой книжке я вознамерился доказать, что всеблагой и всемогущий
Бог при сотворении нашего движущегося мира и при расположении небес-
ных орбит избрал за основу пять правильных тел, которые со времен Пи-
фагора и Платона и до наших дней снискали столь громкую славу, выбрал
число и пропорции небесных орбит, а также отношения между движениями в
соответствии с природой правильных тел" 8.
Для ученых этого периода - Ньютона, Кеплера, Лейбница, занятие
наукой было своеобразной теологией. По словам Ньютона,- это был поиск
доказательств присутствия и воли Бога, которые выражаются в согласо-
ванности законов Вселенной с их математическим описанием: "Когда я пи-
сал свой трактат о нашей системе /"Математические начала натуральной
философии"/, мне хотелось найти такие начала, которые были бы совмес-
тимы с верой людей в Бога; ничто не может мне доставить большее удов-
летворение, чем сознание того, что мой труд оказался не напрасным" 9.
М.Клайн подводит итог научным изысканиям этой эпохи: "Католичес-
кое вероучение, постулирующее первостепенное значение попыток понять
волю Господа и его творения, приняло форму поиска математического пла-
на, заложенного Богом в основу мироздания... работа математиков на
протяжении XVI - XVIII вв. была по существу религиозным исканием. В
поисках математических законов природы они священнодействовали, раскры-
вая славу и величие творения божьего... Можно пойти дальше и утвер-
ждать, что математики XVI - XVIII вв. были уверены в существовании ма-
тематических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и настой-
чиво стремились найти их, ибо исходили из априорного убеждения, что
Бог и эти законы включил в общую схему мироздания" 10.
Понятно, что придерживаясь такой точки зрения, обращение к вопро-
сам обоснования математики и соблюдения стогости доказательства было
бы излишней роскошью, непозволительной для творцов науки Нового време-
ни.
М.Клайн заметил, что если бы творцы оснований дифференциального и
интегрального исчисления знали такой известный из математического ана-
лиза факт, что условия непрерывности еще не достаточно для дифференци-
руемости функции, то математический анализ вряд ли был создан. Его
создатели так и прожили всю жизнь с уверенностью, что разработали ме-
тод для исследования непрерывных процессов, "коим подчинено все проис-
ходящее в природе". А мы от себя добавим: сомнения в присутствии бо-
жественного замысла в устройстве Вселенной и сомнение в математичес-
ком знании как о плане положенном Богом в основу мироздания, не могли
бы вызвать творческого рвения ученых XIV - XVIII вв.
Обратимся теперь к философии Иммануила Канта, чьи идеи оказали
большое влияние на взгляды ученых. Еще в начале XIX века авторитет
Канта среди ученых был столь высок, что "именно нежелание вступать в
конфликт с позицией столь высокочтимого в Германии философа побудила
Гаусса не только воздержаться от публикации своих открытий в области
неевклидовой геометрии, но и категорически запретить знающим об этом
друзьям рассказывать кому-либо об его истинных воззрениях" 11.
В его философии науки математика оказалась не связаной с абсолют-
ной идеей творца, она была лишь внутренне присущей принципам нашего
мышления. Эта концепция стала возможной благодаря одному допущению
Канта - что некоторые формы интуиции нам даны. Это априорные представ-
ления Пространства, Времени, Субстанции, Тождества и др. Кант считал,
что математика основана на чистой интуиции, а не на разуме. Геометрия
в том виде, в каком ее изучали с античных времен, имеет дело со свой-
ствами пространства, которые полностью и совершенно точно сообщаются
нам интуицией; арифметика /изучение действительных чисел/ покоится на
нашей чистой и совершенно точной интуиции времени. Эти интуитивные
ощущения чистого пространства и чистого времени образуют то априорное
обрамление, в которое мы заключаем физические явления, представленные
нам опытом. Всякое физическое событие имеет свое точно определенное
время и место, где оно происходит.
Таким образом, истинность всякой теории по Канту - это верное
соответствие ее предсказаний и нашей интерпретации действительности,
которая нам дается в синтезе опыта /созерцания/ с организующими форма-
ми нашего мышления /понятиями/. Но формы нашего мышления - это
ПРОСТРАНСТВО, интуитивная форма внешнего восприятия, посредством кото-
рой мы "создаем картину окружающего мира", и ВРЕМЯ, интуитивная форма
наших внутренних ощущений, "посредством которой наш ум воспринимает
самое себя или свое состояние". Поэтому истинность математики с необ-
ходимостью следует из внутренней присущности форм пространства и вре-
мени нашему разуму независимо от опыта. Законы пространства и време-
ни, законы разума предшествуют познанию реальных явлений, делая его
возможным. Кант писал, что всеобщие и необходимые законы опыта принад-
лежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в при-
роду. Он утверждал, что другой не математический подход к постижению
природы невозможен: "Так как во всяком учении о природе имеется науки
в собсвенном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного
познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном
смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в ней математика"
12.
Так математика превратилась, с легкой руки Канта, в истинно апо-
диктическое творение человеческого разума и все сомнения в ее непроти-
воречивости и обоснование интуитивно воспринимаемых понятий /числа,
множества, отображения, последовательности и т.д./ были бы неуместны-
ми, поскольку в процессе такого исследования мы бы столкнулись с са-
мой природой нашего разума и его границами. Кант по этому поводу, рас-
суждая о метафизике, писал: "На долю человеческого разума в одном из
видов его познания выпала странная судьба: его осаждают вопросы, от
которых он не может уклонится, так как они навязаны ему собственной
природой; но в то же время он не может ответить на них, так как они
превосходят возможности человеческого разума" 13.
В противоположность идеям Канта уверенность в успехе обоснования
математики могла вселить лишь концепция независимости природы матема-
тики от нашего разума - "нерукотворность" математики. Такая уверен-
ность в объективной природе математики распадается на два независимых
подхода. Первый предполагает, что математические законы присущи самой
природе, т.е. в основе объективного мира лежат математические принци-
пы. Об этом говорит Тростников: "... когда Ньютон, находясь на Земле,
с помощью своего метода объяснил движение планет и комет, его метод
/математический анализ. -С.Б./ был провозглашен абсолютным средством
познания. Постепенно распространилось убеждение, дожившее в некоторых
формах почти до наших дней, что природой управляют законы математики"
14. Красноречивее других эту концепцию выразил Г.Галилей в сочинении
"Пробирных дел мастер": "Философия природы написана в величайшей кни-
ге, которая всегда открыта перед нашими глазами, - я разумею Вселен-
ную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постиг-
нет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке
математики, и письмена ее - треугольники, окружности и другие геомет-
рические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески ее слова: без
них - тщетное кружение в темном лабиринте" 15.
Проникновение методов математики в современное естесвознание поз-
волило по иному взглянуть на мир, не требуя понимания природы иссле-
дуемых сущностей, а довольствуясь лишь знанием их математической
структуры в форме удовлетворительной математической модели. Это дало
повод Анри Пуанкаре (1854 - 1912 гг.) произнести известную фразу:
"Суть настоящей науки заключается в том, что она обязана лишь отве-
чать на вопрос "как?", а не на вопросы "зачем?" и "почему так, а не
иначе?". Эйнштейн выразил главную идею этой концепции в своей статье
"Мир, каким я вижу его", следующим образам: "Весь предшествующий опыт
убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простей-
ших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чис-
то математических конструкций мы можем найти те понятия и закономер-
ные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений при-
роды. Опыт может подсказать нам соответсвующие математические понятия,
но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт
остается единственным критерием пригодности математических конструк-
ций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике.
Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что
чистое мышление в состоянии постигнуть реальность" 16.
Мы поставим перед собой задачу: проследить как ученые, разделяющие
мнение о внутренней согласованности математики и природы, относятся к
исследованниям в области оснований математики и к кризису оснований,
который породили эти исследования. Все следствия из такой мировоззрен-
ческой позиции можно свести к следующим ключевым положениям:
а/поскольку природа объективно существует независимо от постигаю-
щего ее разума и согласована в своей организации с фундаментальными
принципами математики /как квинэссенция нашего опыта/, математический
план, лежащий в ее основе, как раз и предполагает естественное позна-
ние природы методами математики;
б/поскольку мы находим постоянное подтверждение постижимости /как
описания/ законов природы математическими методами, то непротиворечи-
вость и полнота фундаментальных принципов, лежащих в основании матема-
тики, не имеют содержательного смысла, так как рассмотрение их вызва-
но не конкретными явлениями действительности, а чисто умозрительными
соображениями. Но если вопрос о непротиворечивости математики был бы
решен положительно, то при постижении и описании природы можно было бы
обойтись лишь методами чистой математики;
в/вопросы обоснования сводятся к исследованию методов логическо-
го вывода и к адекватному выбору начальных положений математической
теории - аксиом, т.е. из ряда тех вопросов, которыми занимается чис-
тая математика. Ответ на эти вопросы будет иметь содержательный смысл
лишь для обоснования чистой математики. Для остальной же, "содержа-
тельной" математики, обоснованием является сама действительность, из
которой последняя и черпает свои живительные соки.
Таким образом, из положений а/, б/ и в/ нетрудно заключить, что
подобный подход к природе математики слабо зависит или почти не зави-
сит от решения проблем обоснования математики.
Второе воззрение на математику как объективную и непроизвольную
реальность, лежащую вне действительного мира, природы, имеет своих
приверженцев главным образом среди чистых математиков. Это мнение мож-
но условно назвать "неоплатоническим", поскольку мир математических
истин и математических сущностей дан нам изначально, а исследователь
подобен географу, который не изобретает "истины", а открывает их. Ве-
ру в существование объективного реального мира математики разделял
один из искуснейших аналитиков XIX в. Шарль Эрмит (1822 - 1901 гг.):
"Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произ-
вольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же
необходимостью, как предметы объективной реальности, а мы обнаружи-
ваем или открываем и исследуем их также, как это делают физики, хими-
ки и зоологи" 17. Другой известный специалист, создатель математичес-
кой логики, - Готлиб Фреге (1848 - 1925 гг.) писал: "Математик тоже не
может создавать все, что ему вздумается, он также мало имеет на это
права, как и географ, он тоже лишь может открывать нечто и давать от-
крытию название" 18.
Многие из математиков XX в. разделяли те же взгляды. Создатель
теории множеств и трансфинитных чисел Георг Кантор (1845 - 1918 гг.)
также считал, что математики не изобретают понятия и теоремы, а откры-
вают их. Математические понятия и теоремы существуют независимо от че-
ловеческого мышления. Себя самого Кантор считал репортером и секрета-
рем, записывающим эти понятия и теоремы. Такая же идея о предшествова-
нии математической сущности ее существованию в форме математических
открытий /понятий или теорем/ принадлежит Шарлю Эрмиту. Жак Адамар
(1865 - 1963 гг.) цитирует своего учителя /Ш.Эрмита/: "В математике мы
больше слуги, чем господа. Хотя истина нам еще не известна, она пред-
шествует и неукоснительно предписывает нам дорогу, по которой мы дол-
жны следовать под страхом заблудиться" 19. Другой известный англий-
ский математик Годфри Гарольд Харди (1877 - 1947 гг.) писал: "Мне ка-
жется, что ни одна философия не может вызвать сочувствие у математика,
если она так или иначе не признает незыблемости и безусловной годнос-
ти математической истины. Математические теоремы истинны или ложны, и
их истинность или ложность абсолютно не зависит от того, известны ли
нам эти теоремы. В некотором смысле математическая истина является
частью объективной реальности". И продолжает следующим категорическим
заявлением: "Свою позицию я сформулирую догматически во избежание ма-
лейшей неясности. Я считаю, что математическая реальность лежит вне
нас, что наша функция заключается в открытии и наблюдении ее и что
теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем своими "творе-
ниями", в действительности являются не более чем записями наших наблю-
дений" 20.
Подобных взглядов придерживались и ученые, работавшие над вопроса-
ми оснований математики, к примеру, Давид Гильберт, Алонзо Черч, Курт
Гедель и группа математиков под псевдонимом Никола Бурбаки. Они утвер-
ждали, что математические понятия и свойства существуют в некотором
объективном смысле и могут быть постигнуты человеческим разумом. Мате-
матическую истину открывают, а не изобретают. А все проблемы, связан-
ные с обоснованием математических открытий, вызваны тем, что ре-
зультом этих открытий является не сама Математика /математика с
"большой буквы"/, а человеческое знание математики, т.е. все эти проб-
лемы вызваны лишь несовершенством нашего мышления.
Теперь понятно, почему "неоплатонисты" проявляли повышенный инте-
рес к основаниям этой науки, ими двигало естественное желание знать,
как "хорошо" согласуется наше "знание математики" с самой Математикой,
заведомо непротиворечивой и содержащей в себе все возможные истины.
Выделим основные следствия из позиции математического "неоплато-
низма":
а/математика истинна и непротиворечива в силу своей "ясной" при-
роды и "доказуемости" с помощью простых и интуитивно ясных принципов,
которые согласованы со здравым смыслом;
б/математические понятия и теоремы имеют объективную природу и не
изобретаются учеными, а открываются пытливому уму как существовашие
независимо от постигающего их разума;
в/противоречия математических теорий /"наивная" теория множеств
Кантора/ и отрицательный результат в основаниях математики /теорема
Геделя о "неполноте"/ объясняются представителями этого направления
несовершенством "математической оптики" - искажением истинной Матема-
тики в нашем противоречивом мышлении;
г/ "Математический" квиетизм. Вопросы оснований математики: "неп-
ротиворечивость", "полнота" и вопросы "вывода" математических утвер-
ждений имеют первостепенное значение, поскольку от решения этих вопро-
сов зависит, насколько адекватно наше "знание математики" относится к
самой Математике. Даже обнаружив новые противоречия, мы всегда сможем
изменить или дополнить /в случае "неполноты"/ положения в группе ак-
сиом, чтобы избежать противоречий. Со всей ясностью эту мысль выска-
зал Н.Бурбаки во втором томе своих знаменитых "Элементов математики":
"Как показывает анализ исторического развития математики, было бы не-
верно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиво-
речивость предстает как цель, к которой следует стремиться, как некое
данное Богом качество, ниспосланное нам раз и навсегда. С древнейших
времен все критические пересмотры принципов математики в целом или в
любой из ее областей почти неизменно сменялись периодами неопределен-
ности, когда появлялись противоречия и их приходилось решать... Вот
уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои
ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это
дает им право смотреть в будущее спокойно" 21. Уверенность математи-
ков в возможность всегда устранить противоречия, неизбежно возникаю-
щие в процессе развития математики, свидетельствуют лишь о вере в су-
ществование некого высокого образца - истинной, непротиворечивой и не-
зависимой от человеческого сознания Математики.
Какие же основные выводы позволяет сделать наше исследование?
Прежде чем дать ясный ответ на этот вопрос, мы кратко изложим эволю-
цию "духа науки".
Создатели математической науки - древние греки нисколько не сомне-
вались, что в основе природы /космоса/ лежат математические принципы:
обожествление числа пифагорейцами; мир идей Платона, подчиняющийся
вечным математическим истиннам; учение Аристотеля, согласно которому
всем вещам имманентно присуще математическое, проявляющееся в форме,
размерах, в весе и так далее. Древнегреческие мыслители не сомнева-
лись, что в основе мироздания лежит разумное /рациональное/ начало,
ибо обнаружив первопричины сущего и принципы строения космоса, можно
легко понять идею космического, всю ее глубинную сущность и цель.
Сама идея теоретической /рациональной/ науки - это полагание в ос-
нову основ небольшого числа "надежных", простых и ясных принципов, ко-
торые необходимы для дальнейшего поиска всех остальных истин по впол-
не "разумным" правилам. Она принадлежит древним грекам и носит назва-
ние дедуктивного метода. Образец подобного подхода, законченного лишь
в определенном смысле этого слова, - "Начала" Евклида.
Но уже в средние века функционирование природы связывается с за-
мыслом и волей Твоца. В те времена высшим благом католическая церковь
считала постижение личности и воли Бога. Но поскольку его воля и бла-
го были запечатлены в его творении: в природе и человеке, то чтобы
приблизиться к Творцу, необходимо было постичь его замысел, идеи и
принципы, положенные в основу мироздания. Ученым средних веков и Ново-
го времени не пришлось долго гадать о сущности воплощенных Богом в
природу принципах. Идеи древнегречесих ученых и мыслителей покорили их
своим величием. Таким образом, идея о математическом плане Вселенной
вошла в миропонимание средневековых ученых как безусловная и непоколе-
бимая истина, освященная именем самого Творца.
Поиск математических истин стал занятием столь же священным, как и
толкование Священного Писания. Поэтому творческие поиски ряда ученых
средневековья и Нового времени можно считать своеобразной научной тео-
логией.
Дальнейшее развитие науки происходило уже как обособление и отрыв
научного знания от метафизики и теологии. Очередные успехи ученых, по-
лученные в процессе познания природы, вселяли в их сознание все
большую уверенность в величие человеческого разума. Человек, по хрис-
тианскому толкованию - воплощение личности Бога, творение, созданное
им по своему образу и подобию. Поэтому и человеческий разум восприни-
мался как отражение трансцендентной личности Творца. И та гармония и
захватывающая красота идей, которую исследователи приписывали принци-
пам, воплощенным Богом в природе, хоть и была мыслью Бога, но одновре-
менно вселяла гордость за "безграничные" возможности человеческого ра-
зума.
Бурный рост научных окрытий XVII - XIX вв. и почти мгновенное воз-
действие достижений науки на окружающий мир и жизнь человека посред-
ством техники наполняли ученых все большей уверенностью в непогреши-
мости научных методов и мощи человеческого разума. "Гипотеза" Бога
становилась для большей части из них все более обременительной. Все
реже ученые прибегали в своих работах к теологической и метафизичес-
кой аргументации.
Отправную точку на этом пути поставил Иммануил Кант. По его кон-
цепции человеческий разум и наука освобождались от поддержки Бога.
Истины, открываемые человеческим разумом уже не носят характера всеоб-
щих истин, положенных Творцом в основу мироздания. Тем не менее, мате-
матика в учении Канта заняла свое почетное место как единственный ин-
струмент в организации нашего опыта.
Вопросы обоснования математики, подаваемые современными учеными
как естественное стремление "следовать строгости древних", не имеют
под собой веских оснований. Никогда, как свидетельствуют многочислен-
ные факты из истории математики и философской мысли, ни во времена
Древней Греции, ни в расцвете математической мысли Нового времени, ни
даже на заре научно-технической эры /XVIII в./ вопросы рационального
обоснования математики не только не были самоцелью, но даже не затра-
гивались вовсе. Обоснование искалось в мистике /пифагорейцы/, в идеа-
лизации мира и окружающих явлений /платоники/, в божественном замысле,
положенном в основу сотворенного мира /Кеплер, Декарт и Ньютон/, во
внутренней природной присущности математических объектов - сущности
самих вещей /Аристотель и естествоиспытатели XVIII - XIX вв./ и, нако-
нец, в кантианской концепции математики - как организующей силе наше-
го чувственного опыта.
Обоснованность двух других предпосылок кризиса необходимо приз-
нать, но основную причину, на наш взгляд, следует искать в самом "ду-
хе предкризисной эпохи", т.е. в интенциональном характере творческих
поисков ученых как стремлении решить проблему оснований математики с
помощью привлечения тех же математических идей, когда последние обле-
каются в форму методов математической логики или метаматематики.
Библиографические ссылки
1. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии.- М.: Наука,
1991. С.65.
2. Клайн М. Математика. Утрата определенности.- М.: Мир, 1984. С.14.
3. Калужин Л.А. Что такое математическая логика? - М.: Наука, 1964.
С.143-144.
4. Декарт Р. Правила для руководства ума.- М.-Л.: Соцэкгиз, 1936. С.68.
5. Тиле Р. Леонард Эйлер.- Киев: Вища шк., 1983. С.9.
6. Декарт Р. Избранные произведения.- М.: Госполитиздат, 1950. С.291.
7. Ньютон И. Математические начала натуральной философии //Собр.
тр. акад. А.Н.Крылова.- М.-Л.: Изд. АН СССР, 1936. Т.7. С.659.
8. Данилов Ю.А., Смородинский Я.А. Иоган Кеплер: от "Мистерии" до
"Гармонии" //УМФ, 109, 1973, Вып.1. С.175-209, С.176.
9. Клайн М. Математика. Утрата определенности.- М.: Мир, 1984. С.73.
10. Клайн М. Математика. Поиск истины.- М.: Мир, 1988. С.54.
11. Клайн М. Математика. Утрата определенности.- М.: Мир, 1984. С.411.
12. Кант И. Сочинения. В 6 т.- М.: Мысль, 1963-1966, Т.6. С.59.
13. Там же.- Т.3. С.73.
14. Тростников В.Н. Загадка Эйнштейна.- М.: Знание, 1971. С.16.
15. Клайн М. Математика. Утрата определенности.- М.: Мир, 1984. С.58.
16. Эйнштейн А. Собрание научных трудов.- М.: Наука, 1967. Т4. С.184.
17. Клайн М. Математика. Утрата определенности.- М.: Мир, 1984. С.372.
18. Бирюков Б.В. О работах Фреге по философии математики //Философ. вопр.
естествознания. Вып.2, М.: Hаука, 1959. С.123.
19. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области
математики.- М.: Сов. радио, 1970. С.5.
20. Клайн М. Математика. Утрата определенности.- М.: Мир, 1984. С.372.
21. Бурбаки Н. Теория множеств.- М.: Мир, 1965. С.30.