From VBGubin@adm.pfu.edu.ru Sat Dec 11 06:24:32 1999
Newsgroups: fido7.su.science
Subject: Парадоксы Гиббса - 1
From: "Губин"
Date: 11 Dec 1999 00:24:32 +0300
--------
В конференции вопрос о парадоксах Гиббса так разбежался по
рубрикам и авторам, что лучше начать снова. Скажу коротко.
Полнее - в книге "Физические модели и реальность" и статье
"Некоторые требования к правильному разрешению парадоксов Гиббса"
( есть на сайте http://www.pfu.edu.ru/~vgubin и его дубле
http://freecenter.digiweb.com/science/Gubin/ ).
На самом деле есть 2 парадокса.
1) Парадокс первого рода (когда-то, еще до 60-х, так называли, но
я не вспомнил и не нашел, где именно) - это неполучение
аддитивности энтропии при обычном
подсчете числа состояний, логарифмом которого является по
определению энтропия (даже учитывая, что она определяется с
точностью до константы).
Подсчитываемые числа состояний - это все возможные
положения(!) частиц, т.е положения центров тяжести и других
степеней свободы, т.е. положения точек! Поэтому их - несчетное
множество, чтобы тут не сомневались, а то кто-то писал что-то
против этого.
Любой сдвиг - это новое состояние.
Ладно, пусть частицы точечные. Тогда для каждой частицы число
возможных состояний пропорционально объему V. Общее число
состояний ~ (V в степени N). Получается, что энтропия = N ln V.
А для аддитивности надо: N ln (V/N).
Так вот этот деление объема на N (знаменатель)получают, кивая
на то, что частицы одинаковые, поэтому, мол, перестановки частиц
не добавляют новых состояний и должны считаться за одно
состояние. А перестановок N!.
C помощью формулы Стирлинга при больших N из N! с хорошей
точностью выделяют N в степени N, что и требовалось, так как
число состояний теперь будет
(V/N) в степени N, а энтропия будет N ln (V/N).
Появляются трудности.
а) Хотя это решение привел сам Гиббс, все же возник спор:
обоснованно ли это в классике, так как там за частицами можно
точно следить, а перестановки просто уводят на другие фазовые
траектории. С появлением квантовой механики часть (большая и
лучшая - официальная) свалила оправдание на квантовую
тождественность. Шредингер в книге "Статистическая термодинамика"
даже назвал соответствующий пункт: "Крах классической теории.
Парадокс Гиббса." - и ошибся. Ибо если считать, что вопрос
решается только квантами, то это означало бы, что тепловая машина
с классическими частицами не работала бы обычным образом! Кому
это непонятно, задайте вопрос, пока думаю, что это ясно. Но вряд
ли кто сомневается, что и с классическим газом машина стала бы
нормально работать. Замечу, что инженерам-двигателистам в
бытность их студентами ни о какой квантовой механике никто и не
сообщал - разве что в курсе философии.
В общем, решение с перестановками - одно из самых
сомнительных в "общей физике". Оно на самом деле довольно-таки
голословно. Если немного подумать, то легко увидеть, что тепловая
машина не станет работать по-другому, если одинаковые частицы
наменить разными - но тогда что делать со знаменателем под
логарифмом?
Кроме того, есть модельный довод, что аддитивность при
некоторых условиях (практически тех же, при которых возникает
классическая термодинамика) должна быть получена точной, а не
приближенной - и при конечном числе частиц, на что подход с
перестановками не способен.
Ну да ладно.
2) Так вот описанный выше подход с перестановками, если его
принять, а его везде принимают, безразлично - с квантовым
обоснованием или классическим, все равно они притянуты за уши, -
сразу же приводит к парадоксу Гиббса (не знаю, знал ли он о нем)
2-го рода. Именно его сейчас и называют парадоксом Гиббса - как
жизнь упростилась!
Парадокс происходит, если свойства разных частиц сближать
вплоть до полной неразличимости. Тогда под логарифмом происходит
скачок величины. Так, если первоначально все частицы были
разными, то скачок от V до V/N. Вот такие дела.
Людям это не понравилось. Почему - не знаю. Мне это не
понравилось потому, что при таком изменении свойств частиц ничто
наблюдаемое в термодинамике (тем более в классической) не
изменится скачком.
Этому парадоксу предложено единственное разрешение: мир
квантовый, и он запрещает плавное изменение свойств частиц. Это
есть у Зоммерфельда и у многих других авторов. Кубо при изложении
этого решения приговаривает: "...в противном случае вся
термодинамика не могла бы быть справедливой." (/25/, стр. 209).
То есть дело-то касается согласованности и непротиворечивости
частей термодинамики.
Но это решение, конечно, полная лажа. Оно опять фактически
говорит, что в классическом мире тепловая машина не работала бы
обычным образом. В действительности можно построить
математическую модель нормальной классической тепловой машины с
классическими частицами, и меняй их свойства как хочешь. В
действительности в адиабатическом пределе и при больцмановских
частицах (подробнее - в книге "Физические модели и реальность")
главнейшая величина - давление зависит только от полной энергии
(ну и, конечно, объема), а это и приводит к аддитивности, а
одинаковые частицы или разные - это не играет роли.
(Помимо тепловой машины можно ссылаться на разбегание частиц в
классике.)
Я уже говорил, что моя статья в ЖФХ о парадоксах Гиббса с
бесспорными требованиями к решению (без его указания) навечно
остановила дискуссию о парадоксах Гиббса в том журнале (вроде
фидо-конференции была).
=======================
Теперь о частичной неразличимости. Чтобы ее ввести, надо
придумать ее смысловое обоснование и последовательность действий,
а не просто так - давайте возьмем неразличимость 0,2! Помимо
этого, требуется обосновать само введение этой неразличимости,
так как в стандартных учебниках подсчитывается то, что есть у
самих частиц, а не то, как их кто-то будет различать. Ландау и
Лифшиц на различение наблюдателем посмотрели бы косо. А у меня
смысл конечно в неразличимости наблюдателем при соответствующих
действиях, там фактически частицы по свойствам (например, по
массам) не различаются совершенно.
Кроме того, как я выше показал, парадокс 2-го рода следует
из конкретного решения парадокса 1-го рода. То есть в правильном
подходе требуется построить исходное верное аддитивное выражение
для энтропии, которое не давало бы парадокса, а не потом
пришивать заплатки к неверному решению.
Всего хорошего. В.Б.Губин.
Built by Text2Html