From: "Georgiy Zaretskiy"
Newsgroups: relcom.sci.philosophy
Subject: Физика (ст.1): Аксиоматизация и геометризация физики
Date: 14 Apr 1999 11:23:41 +0400
1. Аксиоматизация и геометризация физики.
... Принцип Гамильтона позволял объединить теорию в виде
последовательного и в какой-то степени логически замкнутого
изложения, как бы аксиоматизировать физику.
В этом направлении было сделано много попыток физиками и
математиками. Наиболее интересную попытку аксиоматизировать
физику сделал в 1915 г. знаменитый математик Д.Гильберт.
Гильберт подошел к физике как математик. Он хочет приме-
нить к физике аксиоматический метод математики. Он говорит: "Я
хочу в нижеследующем - в смысле аксиоматического метода - из
двух простых аксиом установить систему основных уравнений фи-
зики, которые обладают идеальной красотой и в которых, как я
думаю, заключено одновременно решение задачи Эйнштейна и Ми"
/1/
------------
/1/ Hilbert D. Die Grundlagen der Physik, Go:tting.
Nachrichten., т.1, 1915, стр.395;
"Сборник", стр, 589-598
-----------
Вопрос о происхождении этих аксиом, являющихся широким и,
в то же время, весьма абстрактным обобщением многочисленных
экспериментальных данных, не рассматривался Гильбертом.
Итак при помощи аксиоматического метода должны быть, по
мнению Д.Гильберта, получены основания физики.
... Рассмотрев проблему связи гравитационного и электро-
магнитного полей, Гильберт приходит в выводу, неправильность
которого в свете прошедших сорока лет развития физики очевид-
на. Однако мы приведем этот вывод целиком, так как точка зре-
ния Гильберта характерна для целого периода развития теории
поля. Гильберт говорит: "... при соответствующем толковании,
немногие простые предложения, высказанные в аксиомах I и II,
оказываются достаточными для построения теории: посредством ее
не только в корне преобразующем наши представления о
простанстве, времени и движения в направлении, указанном Эйн-
штейном, но и, как я убежден, при помощи составленных уравне-
ний будут разъяснены интимнейшие, до сих пор скрытые явления
внутри атома и на их основе должно быть возможно свести все
физические постоянные к математическим постоянным. Таким обра-
зом мы приближаемся к возможности превратить физику в принципе
в науку, подобную геометрии, составляющую, несомненно, прек-
раснейшую славу аксиоматического метода, который здесь, как мы
видим, пользуется услугами мощных инструментов математического
анализа, а именно, вариационного исчисления и теории инвариан-
тов" /2/
-------------
/2/ Hilbert D. Die Grundlagen der Physik, Go:tting.
Nachrichten., т.1, 1915, стр.412.
-------------
Такая аксиоматизация физики, о какой мечтал Д.Гильберт,
представляется нам неосуществимой, однако, поиски внутренне
единой физической картины мира являются, в целом, прогрессив-
ным в развитии физики.
========================
Л.С.Полак. Вариационные принципы механики.
гл.VI. Вариационные принципы в теории поля.
5. Вариационные принципы в общей теории относительности и
в единых теориях поля.
========================
// Вот так просто и откровенно говорил Д.Гильберт, мате-
матик и геометр, несомненно заслуживший звание отца геометри-
зации физики. Опираясь на внутреннюю красоту и законченность
аксиоматического метода, Д.Гильберт пытался придать такую же
завершенность и целостность и физике. И конечно, не вина
Д.Гильберта, что его идея о мощном и прекрасном методе иссле-
дования в физике, все же осталась манящей мечтой. Но именно,
то, что было получено на этом направлении развития физики,
позволяет констатировать факт, что в целом это было "прог-
рессивным направлением". //
... Таким образом, хотя при применении вариационных прин-
ципов механики в классической и релятивистской теориях не было
получено новых существенных результатов, однако, этот цикл
исследований имел принципиальное значение.
Во-первых, был выяснен фундаментальный, инвариантный
смысл вариационных принципов механики, который делает их, по
существу говоря, одним из основных законов макроскопической
физики и превращает само их наименование "вариационные принци-
пы механики" скорее всего дань исторической традиции, чем в
выражение их подлинного содержания и значения.
Во-вторых, была разработана совокупность приемов, раскры-
вающих эвристическое значение этих принципов: поиски инвариан-
тных относительно тех или иных групп преобразований лагранжиа-
нов различных видов и нахождение таким путем уравнений полей
(или единого поля) и уравнений движения.
Эти результаты нашли в 30-х - 50-х годах XX века широкое
и углубленное применение в квантовой электродинамики и кванто-
вой теории поля.
========================
Л.С.Полак. Вариационные принципы механики.
гл.VI. Вариационные принципы в теории поля.
5. Вариационные принципы в общей теории относительности и
в единых теориях поля.
========================
// Таким образом был заложен фундамент для дальнейшего
строительства. А каков был этот фундамент? Достижения в теории
физики начала XX века были транслированы в 30-50-е года, а че-
рез них, и вместе с ними, и та степень формализации физических
идей, без которой, впрочем, все указанные достижения были бы
невозможны. Физика переходила в следующий период развития,
достаточно сильно нагруженная математическим формализмом, что
само по себе совсем не плохо, если бы не один отрицательный
момент. Развитие этого формализма, по каким-то пока не ясным
сейчас причинам, происходило на фоне забывания собственно фи-
зического смысла. Что дало сильный перекос от исследования
собственно физического в пользу исследования математических
структур. Само по себе развитие математического инструмента -
это очень хорошо, но во всем нужна мера. Но видно на рубеже
30-х годов эта мера была окончательно утеряна. И вот теперь в
конце XX века совершенно не удивительно, что попытки вернуть
эту меру вызывают отрицание. Ведь и понятно, что эти попытки
требуют некоторого пересмотра основных положений, и это требу-
ет опредленных усилий. Но нужно, нужно идти на эти усилия.
Нужно честно и открыто посмотреть на то, что есть. И если еще
в 1915 году Д.Гильберт честно и открыто говорил о чем мечтал -
превращение физики в "науку подобную геометрии", то почему бы
сегодня не сказать об этом же и духовным ученикам Гильберта?
Однако обратимся к исторической ретроспективе.
На сегодняшний момент стало общим местом констатация то-
го, что в основу физики положен чрезвычайно общий принцип -
принцип наименьшего действия, "который позволяет очень изящным
и компактным образом" [1] получить уравнения движения, уравне-
ния поля, "выяснить какие именно на вид уравнения движения на-
лагают определенные физические требования" [1]. Общность прин-
ципа наименьшего действия позволяет его использовать во многих
разделах физики. Более того, развитие этих разделов физики не-
возможно было бы без использования указанного принципа.
---------------
[1] Б.В. Медведев. Начала теоретической физики.
М. "Наука", 1977.
---------------
Исторически впервые это прицип был сформулирован в рамках
классической механики, и конечно в рамках механики он и про-
должает использоваться. Далее принцип получил распространение
на электродинамику, теорию тяготения и был доведен до высот
математической точности в работах Д.Гильберта. Однако на каком
основании можно было применять принцип наименьшего действия за
пределами механики? Оказалось, что такому праву физики обязаны
Гельмгольцу.//
... В известном сочинении "О сохранение силы", вышедшем в
1847 году, он пишет: "Задача физического естествознания, в
конце концов, заключается в том, чтобы свести явления природы
на неизменные притягивательные и отталкивательные силы, вели-
чина которых зависит от их расстояния. Разрешимость этой зада-
чи есть в то же время условие для возможности полного понима-
ния природы" /1/
--------
/1/ Гельмгольц Г. О сохранении силы, пер. П.П.Лазарев.
Гостехиздат, 1934, стр. 37.
-------
Задачу Гельмгольц в 70-80 гг. XIX века пытался решить с
помощью принципа наименьшего действия. При этом он сохранил
механическое существо принципа. Однако это ограничение уже
отступало у него на задний план, так как при исследовании мно-
гих физических систем, например, гальванических токов, магни-
тов ему не надо было входить в рассмотрение специальных
свойств. Зато Гельмгольц уже тогда сделал решительный шаг. Он
не стал выводить лагранжианы из энергий как разность кинети-
ческой и потенциальной энергии, что делалось до него, а наобо-
рот, взял лагранжеву функцию за основу в качестве исходной,
первичной величины и из нее вывел как все другие законы движе-
ния, так и величину энергии.
... Если Гельмгольцу как будто бы удалось уложить закон
сохранения и превращения энергии в прокрустово ложе механициз-
ма, то второе начало теории теплоты явилось чужеродным элемен-
том в стройном здании механистической физики. Понятие энтропии
внесло новый существенный элемент в физическую картину мира.
Монотонность функции энтропии подчеркивала односторонность,
направленность процессов природы. Прошедщее и будущее, которые
не различались в классической механике, где ничто не изменя-
нется при замене плюса на минус в уравнениях движения, пе-
рестали быть тождественными. В механике не было никаких анало-
гий функции энтропии, никаких понятий, которым можно было бы
свести содержание второго начала теории теплоты.
Гельмгольц ставил своей задачей включить энтропию в схему
классической механической физики. Прямолинейный механицизм
центральных сил сменился у него более гибким подходом. Задача
остается прежней - построение механической картины мира. Но
конкретные формы ее осуществления меняются. Принцип наименьше-
го действия и представление о циклических и "скрытых" механи-
ческих движениях представляют собой новые пути к разрешению
старой задачи.
... <Трудности> Гельгольц пытается преодолеть путем
рассмотрения всех процессов, как вызванных участвующими в них
видимыми, наблюдаемыми, так и невидимыми, "скрытыми" массами.
Применяя к этим массам наиболее общий принцип механики - прин-
цип Гамильтона, которым можно охватить явления, выходящие за
пределы собственно механики движущихся тел.
Гельмгольц указывает, что "известные" законы обратимых
процессов могут быть фактически выражены в форме уравнений
Лагранжа, а следовательно, и в форме теоремы минимальности ки-
нетического потенциала".
Однако при изучении общих свойств систем, которые подчи-
нены принципу Гамильтона, "необходимо отбросить старое, более
узкое предположение, согласно которому скорости входят только
в выражении живой силы и притом в форме однородной функции
второй степени; надо исследовать, как будет обстоять дело,
если L есть функция любого вида от координат и скоростей".
... По мнению Гельмгольца, "область применения принципа
наименьшего действия далеко переросла границы механики весомых
тел". Принцип наименьшего действия приобрел универсальный ха-
рактер, поэтому он становится важнейшим эвристическим
средством. Гельмгольц считает, что этот принцип дает возмож-
ность открывать новые законы физических явлений: "Во всяком
случае мне кажется, что всеобщая значимость принципа наимень-
шего действия настолько не подлежит сомнению, что он может
претендовать на большую роль в качестве эвристического принци-
па и путеводной нити в исканиях формулировок для законов новых
классов явлений".
Таким образом Гельмгольц провозглашает принцип наименьше-
го действия наиболее общим законом обратимых явлений. Но зна-
чание этого принципа не только в этом. Поскольку он применим
ко всем обратимым явлениям, он применим и ко всем тем, которые
еще предстоит изучить - таков ход рассуждения Гельмгольца.
========================
Л.С.Полак. Вариационные принципы механики.
гл.V. Вариационные принципы и теория теплоты.
2. Вариационные принципы механики и скрытые движения в
обосновании второго начала термодинамики Гельмгольцем.
========================
// И именно этот ход рассуждений Гельмгольца потом разо-
вет Д.Гильберт до абстрактных высот чистой математики. И если
Гельмгольц стремился к поиску некоего универсального принципа,
с помощью которого можно было бы описывать физические явления
единым образом, то именно гений Д.Гильберта смог окончательно
оторвать метод от физической земли и устремить в небеса чистой
математики.
Идея Гельмгольца, о том, что принцип наименьшего действия
может выступать в роли эвристического принципа, путеводной ни-
ти, которая позволяет находить "формулировки для законов новых
классов явлений" постепенно трансформировалась в идею Д.Гиль-
берта превратить физику в науку подобную геометрии, которая бы
позволяла бы "свести все физические постоянные к математи-
ческим постоянным".
Обдумывая приведенную историческую ретроспективу можно
высказать гипотезу, которая имеет целью ответить на поставлен-
ный выше вопрос.
Мотивация ученого, стремящегося продвинуться в важном для
него направлении исследований, превращается с течением времени,
в "доказанную истину", не требующую проверки. Однако доказан-
ность истины, имея объективно исторический характер, может
восприниматься следующими поколениями ученых (конечно надо
вести речь об определнном процентном отношении) как истина
объективизированная, как завершенная ступень познания. И в та-
ком виде результаты, полученные усилиями прошлых поколений
ученых, могут сыграть с новым поколением исследоваителей не
совсем хорошую шутку. Причем осознание этого факта тем труд-
нее, чем больший гений творил. Возможно этим можно объяснить,
что физические исследования в рамках теоретической физики при-
няли форму математических рассуждений, достаточно сильно отор-
ванных от собственно физики. //
============================================
13.04.1999 Георгий