From: "Georgiy Zaretskiy"
Newsgroups: relcom.sci.philosophy
Subject: Физика (ст.2): Принцип наименьшего действия
Date: 14 Apr 1999 11:35:10 +0400
2. Вариационный принцип - принцип наименьшего действия.
// В прошлой статье была приведена мысль о том, что в основу
физики был положен чрезвычайно общий принцип - принцип наи-
меньшего действия. Такой подход дал множество полезных и инте-
ресных результатов для самой физики. И хотя обобщение принципа
способствало отрыву от собственно физического, но, одновремен-
но, способствовало объединению различных разделов физики и
построению общего, мощного метода описания физических про-
цессов. А каковы же основания столь мощных интеграционных
свойств указанного принципа? Чтобы найти ответ на этот вопрос
необходимо обратиться к истории введения принципа наименьшего
действия и придания ему сегодняшнего статуса.
Наше движение начнем не с последовательного ретроспектив-
ного анализа, а с рассмотрения той интрепретации принципа наи-
меньшего действия, которое ему было придано Ричардом Фейнма-
ном. //
( Несколько слов о форме подачи материала.
При приведении цитирования или компиляции - в конце цитируе-
мых или компилируемых кусков будет указываться источник при
помощи "-------
-------"
Свои собственные рассуждения я буду помещать в "//.. //"
Использумые обозначения:
{..} - для обозначения нижнего индекса. Индекс указывается
внутри скобок.
SUM - символ суммирования по указанному внизу индексу;
i
v# - символ для обозначения вариации;
^ - символ для обозначения степени. )
... Фейнман показал, что соотношение между классической
механикой и квантовой становится наиболее ясным, если переки-
нуть мост от квантовых принципов непосредственно к класси-
ческому принципу наименьшего действия в форме Гамильтона.
Принцип наименьшего действия представляет собой наиболее
экономную формулировку законов механики. Хотя его и можно по-
лучить с помощью других формулировок механики (в частности,
ньютоновской), но фактически до работ Фейнмана глубокая внут-
рення природа этого принципа оставалась скрытой. Поэтому не
удивительно, что в свое время делались попытки теологического
толкования принципа наименьшего действия как выражения беско-
нечной мудрости "творца" и целесообразности устройства Вселен-
ной на основе максимальной экономии действия. Автор первой
формулировки этого принципа Мопертюи настаивал на его теологи-
ческой основе. С ним был согласен Эйлер. В возникшей дискуссии
участвовал Д'Аламбер и даже Вольтер. Постепенно ученые пол-
ностью отошли от теологического взгляда на природу принципа
Мопертюи. В частности, существенную роль здесь сыграло то, что
на самом деле действие должно быть не минимальным, а экстре-
мальным, т.е. может быть и максимальным. Но с чем связано то
обстоятельство, что общий или даже наиболее общий закон приро-
ды утверждает экстремальный характер действия для реальных
траекторий движения тел, оставалось неясным.
Первая догадка была высказана Эддингтоном еще при зарож-
дении квантовой теории, до создания последовательной квантовой
механики. Известен был лишь сам факт существования кванта
действия - постоянной Планка h.
Если разделить действие системы S на квант действия h, то
получится безразмерное число, которое, как и само действие,
будет играть в теории важнейшую роль благодаря наличию принци-
па наименьшего действия.
Какая другая безразмерная величина играет столь же фунда-
ментальную роль в физике? Очевидно вероятность. Тогда согласно
Эддингтону, можно предположить, что принцип наименьшего
действия должен бвть тождественен принципу максимальной веро-
ятности. Фейнману удалось это доказать.
В основу нового, фейнмановского, представления квантовой
механики лежит единственный постулат, позволяющий определить
вероятность перехода частицы из одной точки пространства в
другую. Пусть частица в момент времени ta находится в точке
"a". Спрашивается, какова вероятность P(b,a) того, что в мо-
мент tb она попадет в точку "b"? Для ответа на это вопрос надо
рассмотреть все возможные траектории, ведущие из "а" в "b",
причем каждая траектория вносит свой вклад в искомую вероят-
ность. Согласно основному постулату Фейнмана вклад отдельных
траекторий равен по величине и отличается только фазами. Фаза
вклада от какой-либо заданной траектории равна классическому
действию S для данной траектории, выраженному в единицах
действия h. Количественно это формулируется следующим образом.
Амплитуда вероятности данной траектории равна
f [r(t)] = const * exp (i*S(r,t)/h),
где S - классическое действие для данной
траектории r(t).
Амплитуда полной вероятности равна сумме по всем траекто-
риям, т.е.
A(b,a) = SUM f{i} [r(t)]
i
а вероятность
P(b,a) = | A(b,a) |^2
т.е. квадрату модуля амплитуды. Условие нормировки опре-
деляет константу в выражениях для f[r(t)].
Из данного постулата, как показал Фейнман вытекает вся
квантовая механика и, в частности, уравнение Шредингера. Таким
образом, наряду с матричным представлением квантовой механики
Гейзенберга и волновым Шредингера, Фейнман нашел новое
представление квантовой механики, полностью идентичное извест-
ным ранее.
Формулировка квантовой механики с помощью интегралов по
траекториям позволяет очень просто перейти к приближению
классической механики, когда две точки в заданном силовом поле
могут быть связаны лишь единственной траекторией, вдоль кото-
рой действие экстремально.
В классическом случае действие очень велико, т.е. S>>h.
Поэтому фаза S/h для каждой траектории очень велика. По форму-
ле Эйлера
exp (i*S/h) = cos (S/h) + i*sin (S/h)
причем как действительная, так и мнимая часть амплитуды
f[r(r,t)] могут оказаться и положительными, и отрицательными.
Если слегка сдвинуть траекторию, добавив к ней малое по класи-
ческим масштабам смещени v#r(t), то изменение действия ока-
жется большим в сравнении с h. Следовательно, малое возмущение
траектории ведут к больши изменеиям фазы, и функции cos (S/h),
sin (S/h) будут совершать быстрве колебания между положитель-
ными и отрицательными значениями. Если одна траектория дает
положительный вклад в амплитуду вероятности, то другая, беско-
нечно близкая - отрицательный вклад, и в целом вклад окажется
просто равна нулю. Поэтому данную траекторию можно просто не
учитывать, если соседние с ней имеют другие значения действия.
Их вклад будут взаимно уничтожаться.
Однако небольшое смещение v#r(t) одной траектории
r{кл}(t), для которой действие экстремально, в первом прибли-
жении не меняет действия S (это и означает наличие экстрему-
ма). Фазы всех вкладов от траекторий, находящихся в этой об-
ласти мало отличаются друг от друга; они равны S{кл}/h и вза-
имно не уничтожаются. В классическом приближении S>>h мы долж-
ны рассматривать эту траекторию как единственно возможную. Та-
ким образом, принцип наименьшего действия в классической форме
v#S = 0
следует из квантового принципа Фейнмана.
Если S сравнимо с h, то надо учитывать все траектории. Ни
одна из них не будет иметь преимущественное значения.
Итак, нам лишь кажется, что природа выбирает однозначный
классический путь. На самом деле участвуют все возможные пути
и справедлив статистический закон. Классическая траектория
просто наиболее вероятна, она существует качестве единственной
только при условии S>>h. Фундаментальный динамический принцип
- принцип наименьшего действия имеет, по существу, статисти-
ческую природу.
Сказанное относится не только к механике. Так динами-
ческие законы геометрической оптики (например, в форме вариа-
ционного принципа Ферма) устанавливают единственную траекторию
светового луча, соединяющую две любые точки пространства.
/(Форму в виде вариационого принципа придавал еще Гель-
мгольц)./ Но эта единственная траектория в действительности
оказывается лишь наиболее вероятной из бесчисленного множества
других возможных траекторий. Говорить о единственно возможной
траектории можно лишь в том случае, когда длина волны много
меньше пространственных размеров неоднородностей среды, в ко-
торой распространяется свет.
После обнаружения статистической природы фундаментального
принципа классической механики, очевидно, лишены смысла попыт-
ки отстаивать представление о первичности динамических зако-
нов, образцом которых как раз является механика Ньютона.
---------------------------
Г.Я.Мякишев. Динамические и статистические
закономерности в физике.
М."Наука", 1973.
гл.IV. Динамические законы и границы их применимости
$1. Принцип наименьшего действия как принцип максимальной
вероятности
с.156 - 160
---------------------------
// Однако, можно ли говорить, о том, что в основу обобщений
принципа наименьшего действия, которые получились в результате
распространения изначально механического принципа, на сущест-
венно немеханические процессы, можно было бы положить интерп-
ретацию Фейнмана? Можно. Этот вывод получается из следующих
аргументов: вариационный принцип механики - принцип Гамильтона
получил распространение на немеханические процессы в работах
Гельмгольца и пройдя через этап обретения самостоятельной на-
учной ценностии, как идеи уже оторванной от автора, получил
"прописку" в качестве основного принципа физики. Однако,
вместе этим, основа логических выводов не была изменена, пото-
му, что в основе логики теории была положена логика естествен-
ных процессов. С этой логикой и следует более подробно позна-
комиться. И опять же обратимся к истории вопроса.
В последние годы жизни (1871 - 1893) Гельмгольцем была
сделана большая группа работ, посвященным принципу наименьшего
действия и обобщения этого принципа на все физические явления.
Тяжело точно говорить о мотивации того, или иного ученого, так
сказать о движущих силах, которые заставляют его принимать ре-
шения, выбирать те или иные пути исследования. Однако о то мо-
тивах можно высказать определенные предположения. О чем и го-
ворится в книге Лазарева П.П.//
Уже в своей первой работе в "Законе сохранения силы",
Гельмгольц встал на точку зрения общих принципов и показал,
что установив некоторое соотношение между величинами, измерен-
ными при опыте, мы можем вывести из них ряд соотношений, можем
описать целый ряд явлений электрических, магнитных, тепловых и
т.д., пользуясь тем обстоятельством, что энергия системы не
должна меняться. Представлялось интересным пойти по этому пути
дальше и попытаться найти такое соотношение между наблюдаемыми
величинами, которое позволило бы выразить одним общим матема-
тическим законом все явления, которые можно наблюдать в приро-
де и которые доступны нашему наблюдению. Попытка обобщить все
явления при помощи одного общего закона для механических явле-
ний были раньше предприняты Лагранжем, Якоби и Гамильтоном в
виде так называемого принципа наименьшего действия.
Исходя из этого принципа, нахождение реального движения
можно выполнить для любых материальных систем, которые могут
двигаться под влиянием любых сил. Таким образом, одной форму-
лой охватывающих все те движения, которые может совершать или
данное тело, или система произвольных тел, двигающихся в любых
условиях. Вводя понятия кинетической и потенциальной энергии
для всех остальных физических явлений, Гельмгольц приходит к
замечательному обобщению принципа наименьшего действия, кото-
рое позволяет ему расширить область этого принципа на электри-
ческие, тепловые и другие явления. Получается некий общий за-
кон, выраженный одной определенной формулой, из которого мате-
матическим путем, путем вариационного исчисления, можно полу-
чить все уравнения, которые управляют явлениями, происходящими
при электрических, магнитных, тепловых и других физических
процессах.
-------------------------
П.П.Лазарев. Гельмгольц.
Изд-во Академии наук СССР, М., 1959. 130с.
гл.5 Последние годы жизни Гельмгольца
--------------------------
Гельмгольц ... сделал решительный шаг. Он не стал выводить
лагранжианы из энергий как разность кинетической и потенциаль-
ной энергии, что делалось до него, а наоборот, взял лагранжеву
функцию за основу в качестве исходной, первичной величины и из
нее вывел как все другие законы движения, так и величину энер-
гии.
По мнению Гельмгольца, "область применения принципа наи-
меньшего действия далеко переросла границы механики весомых
тел". Принцип наименьшего действия приобрел универсальный ха-
рактер, поэтому он становится важнейшим эвристическим
средством. Гельмгольц считает, что этот принцип дает возмож-
ность открывать новые законы физических явлений: "Во всяком
случае мне кажется, что всеобщая значимость принципа наимень-
шего действия настолько не подлежит сомнению, что он может
претендовать на большую роль в качестве эвристического принци-
па и путеводной нити в исканиях формулировок для законов новых
классов явлений".
Таким образом Гельмгольц провозглашает принцип наименьше-
го действия наиболее общим законом обратимых явлений. Но зна-
чание этого принципа не только в этом. Поскольку он применим
ко всем обратимым явлениям, он применим и ко всем тем, которые
еще предстоит изучить - таков ход рассуждения Гельмгольца. А
так сферы действия закона сохранения и превращения энергии и
принципа наименьшего действия не обязательно совпадают и со-
держание последнего не исчерпывается представлением централь-
ных сил, то принцип наименьшего действия "там где он применим,
выражает какой-то особый характер существующих консервативных
сил природы, который не дан через их определение как консерва-
тивных сил" *) (Гельмгольц).
---------------------------
Л.С.Полак Вариационные принципы механики
М.-Физ.-мат. лит., 1960
2. Вариационные принципы механики и скрытые движения в
обосновании второго начала термодинамики Гельмгольцем.
--------------------------
// Далее результаты полученные Гельмгольцем получили дальней-
шее развитие в работах Макса Планка. //
Принцип наименьшего действия в в новой, по существу в
форме, которая была дана ему Гамильтоном и Гельмгольцем, стал
выжнейшим законом физики, о котором говорил М.Планк
(1858-1947) в своих лекциях по теоретической физике: "Все об-
ратимые процессы, будь они но природе механического, электро-
динамического или термического характера, - все они подчинены
одному и тому же принципу, дающему однозначный ответ на все
вопросы, касающиеся этого процесса. Этот закон не есть принцип
сохранения энергии, который хотя и приложим ко всем явлениям,
но определяет их ход не однозначно: это - принцип более общий
- принцип наименьщего действия" /1/
--------------
/1/ Планк М. Теоретическая физика, VII лекция, Общая ди-
намика. Принцип наименьшего действия, пер. И.М.Зан-
гевского, 1911, стр.120
--------------
Распространение вариационных принципов механики на неме-
ханические (тепловые и электромагнитные) явления естественно
привело к попыткам утвердить эти принципы в качестве основных
законов всей физики.
Планк считал, что решение проблемы обобщения всех явлений
природы в одном простом принципе является высшей целью, мерца-
ющей перед физикой со дня ее возникновения. Среди законов фи-
зики принцип наименьшего действия ближе всего подошел, по его
мнению, к этой цели теоретического исследования, ибо он во
всех областях физики позволяет опередить ход физических про-
цессов в пространстве и времени, если известны все условия.
-------------------
Л.С.Полак Вариационные принципы механики
М.-Физ.-мат. лит., 1960
3. Вариационные принципы механики и теории теплоты в рабо-
тах Больцмана, Дж.Дж.Томпсона, Планка.
-------------------
// И наконец, принцип получил окончательную "прописку" как об-
щего физического, а не только механического принципа (и однов-
ременно процесс приобретения идеи самостоятельного существова-
ния, назависимого от автора идеи, получил свое окончательное
завершение) после работ таких математиков как Д.Гильберт и
Э.Неттер. //
Плодотворность обобщений Гельмгольца в области теории наи-
меньшего действия нужно считать закрепленной уже и тем обстоя-
тельством, что ряд крупнейших исследований в области электро-
динамики проведены на основе этих представлений. Исследования
в области теории квант опираются на эти исследования и, нако-
нец, эти же исследования о обобщенном виде являются базой вы-
дающихся математических работ Гильберта.
В связи с принципом наименьшего действия находятся и за-
коны геометрической оптики в форме, приданной им Гельмгольцем.
Закон отражения и преломления света, как мы это видели, выво-
дится Гельмгольцем тоже из минимального принципа, по которому
свет при преломлении и отражении проходит тот путь, который
требует минимального времени. Тот же минимальный принцип был
приложен Гельмгольцем и для выражения движений глаза.
Таким образом, общая идея разыскания некоторых минимумов
проходит через ряд работ Гельмгольца в области физики и физио-
логии.
-------------------------
П.П.Лазарев. Гельмгольц.
Изд-во Академии наук СССР, М., 1959. 130с.
гл.5 Последние годы жизни Гельмгольца
--------------------------
// Cтремление Гельмгольца в нахождении некого общего прин-
ципа, с помощью которого можно было бы подходить к исследова-
нию, было реализовно в формулировке принципа наименьшего
действия как общего физического принципа. И теперь еще раз об-
ратимся к тем условиям, которые позволяют применять это прин-
цип для описания физических процессов. "Все обратимые про-
цессы, будь они но природе механического, электродинамического
или термического характера, - все они подчинены одному и тому
же принципу, дающему однозначный ответ на все вопросы, касаю-
щиеся этого процесса" (М.Планк, лекции по теоретической физи-
ке). Но у М.Планка не говорится о гравитации, однако из работ
по теории поля и ОТО следует, что успешное применение в них
указанного принципа, как раз базируется на том главном предпо-
ложении, которое было положено в основании расширения принципа
самим Гельмгольцем.
Квантовая механика, в рамках которой Фейнманом была предло-
жена приведенная выше интерпретация принципа наименьшего
действия, описывает обратимые явления. По этой причине можно
говорить, что, хотя, Фейнман, обосновал лишь собственно меха-
ническую форму принципа, но за счет проведенных обобщений
принципа и проверки соотвествия этих обобщений практике, можно
говорить, что фейнмановский подход дает, фактически обоснова-
ние всем формах этого вариационного принципа. Кроме того дан-
ная мысль находит еще поддержку в самом подходе сложившемся в
физике: описание физических явлений, чтобы быть полным должно
получить свою квантовую форму. Сама возможность подобного под-
хода опирается, в конечном счете, на существующую генетическую
связь между процессами.
И так, можно уже говорить о том, что есть понимание при-
чин, по которым принцип наименьшего действия получил свой ста-
тус, причин его мощных интеграционных свойств и подвести неко-
торые итоги:
1) Принцип наименьшего действия имеет статистическую природу;
2) Принцип наименьшего действия используется для описания
процессов механического, электромагнитного, теплового
характера, гравитации (в форме ОТО), а также всевозможных
перекрестных эффектов;
3) Все описаныые процессы, к которым применим принцип
наименьшего действия должны носить обратимый характер. //
===========================================
Георгий 13.04.1999