二、聲學與音樂學

　　在音樂學的範疇中，音樂聲學通常被歸類於系統音樂學裡面。作為一門探討音樂之物理本質的基礎學科，諸如泛音、拍（beat）等觀念，便常常開宗明義的出現在音樂學或樂理教科書的卷首。音樂聲學中最重要的分支，毫無疑問是關於樂器的研究，其次才是室內聲學。以下先對樂器聲學做一個簡介。

　　在樂器聲學的基礎理論方面，需從振盪系統開始著手，其中重要的觀念有：受迫振盪（forced oscillation，共鳴現象的基礎）、傅立葉分析（泛音現象的基礎）、一維及二維的波動方程式（弦鳴或膜鳴樂器的基礎）、非線性振盪、耦合系統（多個系統的結合，例如簧片跟空氣柱的耦合、弦與琴身的耦合）、固有振動模式（normal mode）。接著則探討聲波在空氣中的波動方程式、聲波的反射與吸收，較艱深的是關於聲波的輻射與管中的波動方程式（Webster equation），這裡要用到特殊函數（Bessel函數）、變分法（perturbation）等。

　　自1930年之後，關於各種管樂、弦樂、擊樂器等的實際研究始有可觀的成果，大部份的論文散見於物理期刊，而非音樂學期刊，其中最重要的是 Journal of the Acoustical Society of America與Acustica，2000年七、八月的Acustica（Vol.86）甚至整期都是樂器的聲學研究論文，可見此類研究在現今的聲學領域中仍占有重要地位。Neville H. Fletcher 與Thomas D. Rossing所著的The Physics of Musical Instruments（Springer: New York, 1991）書中總結了前人的研究成果，是一本深入的經典著作，適合具理工背景的人閱讀。與此書同等級的著作還有Lothar Cremer的The Physics of the Violin（MIT Press, 1984）。Arthur H. Benade的Fundamentals of Musical Acoustics（Dover, 1990）避免涉及太多的數學及物理理論，內容亦十分豐富。

　　樂器聲學研究雖視各個樂器的發聲原理而有所不同，但其中亦有些共通的方法，就旋律性樂器而言，必須把發聲部份與共鳴部份拆為不同的系統研究，再探討彼此的耦合，共鳴部份的物理特性通常由「輸入阻抗曲線」（input impedance curve）來敘述。管樂器的發聲部份可以是(1)氣流噴在平面的邊緣被分為兩股(2)氣流通過平行薄片間的縫隙引起它的快速開合，笛屬於(1)類，單╱雙簧樂器、銅管樂器及人聲屬於(2)類。管樂器的共鳴部份為管身內的空氣柱，以實驗測量它輸入阻抗的方法，是在吹嘴處放置正弦波聲源並以定速氣流吹入管身，測量管口的音量。弦樂器涉及的振動系統很多，以提琴類樂器而言，計有弦、橋、正面琴板、共鳴箱內的空氣、背面琴板等。討論弦的振動要考慮演奏方式（拉弓速度及壓力、撥弦或擊弦位置），以及琴弦異於理想弦的物理特性（縱波、阻尼係數、楊式彈性係數）；共鳴部份的輸入阻抗測量，則可以在橋施以微小的正弦振盪，測量該處的速度與加速度之比。

　　固有振動模式分析（mode analysis）致力於把系統的振盪分解為固有振動模式的疊合，每個固有振動模式都以其固有頻率（eigenfrequency）及固有形狀函數（eigenfunction）來敘述，這樣的分析在打擊樂器的聲學研究中居於中心地位，而弦樂器的琴板振動也必須用到這個觀念，現今用雷射干射儀（Laser-interferometer）作的固有振動模式分析，其在高頻測量的精密度遠勝從前。此外，有限元件分析（finite element analysis）致力於將複雜系統拆為耦合的幾個系統、無所不在的非線性現象（nonlinearity）深深左右著許多樂器的發聲，以上這些都是樂器聲學進階理論裡最重要的幾個議題。

　　由於音樂中以穩定的、周期性的聲音現象為主，故研究的方式常以頻譜分析為主，與頻譜分析相對的是從時間角度作的分析，這兩種切入方式（frequency-domain / time-domain approach）各有所長，傳統的研究偏重於前者，但在非線性現象漸受重視後，諸如啟始鳴響與收束鳴響（starting and finishing transient）的研究，便必須以時間的角度對微分方程式或積分方程式求近似解。

　　在實務上，有幾個觀念常用來描述各種樂器的聲學特性，例如樂器的初始鳴響、收束鳴響，以及發聲的方向性等。樂器聲學的另一個核心問題，則是演奏技巧的聲學探討。與演奏相關的還有樂器的製造與改良，像大提琴的狼音（wolf tone）現象困擾著演奏者，便是一個樂器製造者需要致力克服的問題。

在此必須一提的，是律學與音樂聲學的關係。聲學理論可以當作律學的基礎（如泛音列），但在另一方面，個別樂器的聲學研究跟其調音的實務亦有密切關係，例如「管口校正」（end correction）攸關管樂器孔距的校準，而鋼琴調音師通常把高音域調得偏高、低音域調得過低（所謂stretched octave），亦有其聲學及聽覺心理學上的理由。

　　一般人會把音樂聲學誤以為只是在研究音樂廳的音響效果，其原因可能是室內聲學的研究在應用上最切實際，事實上，要精確計算室內的聲波卻極為困難，為了蓋出音響效果好的音樂廳，設計師常常要造些縮小的模型來測它的音響效果，70年代之後則發展出以電腦模擬的方式。

　　要敘述一個音樂廳或房間的音響效果，最重要的參數是「殘響時間」，它被定義為聲音強度在室內消逝至原來的百萬分之一所需的時間，不同的音樂適合的殘響時間都不同，多數的教堂其殘響時間在3秒以上，最適合管風琴演奏，古典時期音樂約需要2秒，巴洛克音樂約需要1.5秒，若是該大廳也兼具會議廳的功能，則適合交談的殘響時間為1秒，為了因應這樣不同的需求，今日已經可以用麥克風、擴音器及電腦的計算，來造出所要的殘響。另一個室內聲學中重要的參數是「開始時間差」（initial time gap），它被定義為某座位上聽到直接傳來的聲音與反射聲音之間的時間差，這還要考慮反射的聲音來自何方，來自兩側的反射會比來自天花板具有更好的效果。

　　科學的發展有時候真的是難以意料，80年代之後的室內聲學研究居然會跟數論及殘形扯上關係，再一次證明“純”數學中常常隱藏著應用上的可能性。依照高斯的「平方餘數理論」製造的反射牆稱作Quadratic-Residue Diffusor，這樣表面有凹凸不齊的長方體的牆，在許多錄音間、音樂教室或音樂廳都可以見到，此外，人們也發現表面有殘形構造的反射牆也具有不錯的音響效果。