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數學練習題

王立中

   做數學練習題是學數學重要的一環。頭腦有惰性；閱讀課本而不做習題如同走馬看花：瞭解膚淺，勉強拼湊的圖像難以留下深刻的印象。徒然讓思考與記憶加速退化。譬如若不做 [Har, p.10, Exercise 1.2]，便不會注意 [Cod, p.22, Theorem 7.1] 的證明策略；也不會去比較 [Cod, p.23, (7.2)] 與 [Cod, p.24, (7.3)(ii)]，因此難以對逐次逼近作有效的設計。在 [Cod, p.22, l.-12-l.-11] 中所提的問題「解在整個區間 I 上存在」是如何解決的？在未讀定理證明前無法做﹔讀了定理證明後又忘記去查。此問題有兩種解法 [Cod, p.24, l.3-l.4; l.-6-l.-5]。
   若不做習題，便無誘因學新東西，也無軀策力培養衝關的能力。好的練習題能訓練學生思考、深悟、組織、察覺疏漏或創造有效方法的能力，藉以提升學習的層次。從挫折中吸取的經驗教訓有助於下一挑戰的順利過關。學得多樣類似的事物便容易發生混淆；不要怕混淆，混淆是明辨細微差別的種子﹔不要怕挫折，挫折是深入堂奧的梯階﹔不要怕跨域，跨域是融會貫通的必經要道。教科書裡呆板的練習題即使做得再多也無益。至於坊間書店頭腦體操一類的書籍，所能學到的僅是一些奇技淫巧，對解決問題並無幫助。以下我選擇一些具啟發性的習題，希望它們能帶領青年學生走出自己的路來。習題做不出來多半是由於缺乏耐心，觀察不夠仔細，沒有找出問題的破綻。自古成功在嘗試。即使失敗的嘗試也能帶給我們一些寶貴的教訓。嘗試得愈多，經驗愈豐富﹔題目看得愈清楚，解題的方法便愈明顯。做習題一定要追根究底，絕不可輕言放棄﹔遇到無法解決的問題正表示有新東西得學。每個人的想法不同，你的答案可能比他人更直接。每一習題均註明出處及組別。出處僅用作我個人的標記，與讀者無關。
檢驗方法：如果方法正確，僅計算錯誤，只須代入數字，即可找出錯誤。
  1. 設 A(u, v), B(q, f)為單位球面上兩點的球面座標。當座標系 XYZ之 Z-軸旋轉至 OB®，變成新座標系 X'Y'Z'之 Z'-軸， A點對新座標系 X'Y'Z'之新球面座標為 (w, y)。試證
    (a). cos w = cos q cos u + sin q sin u cos (f - v)。
    (b). sin u sin (v - f) = sin w sin y。 [Wat1, p.397, l.-4-l.-3; Jack, p.65, l.14-l.15; 初中組 ]
    提示﹕(b). 可假設 f = 0。


  2. 令 z = a + beif。當 |b| > |a| 時，若 f 增 2p，則 z 的輻角增 2p﹔當 |b| < |a| 時，若 f 增 2p，則 z 的輻角不變。[Wat1, p.329, l.1-l.3; 小學組 ]


  3. 試證 (a). 當n非整數時，若 m 趨近一整數，則 [sin (m+n)p]/[sin (m-n)p] ® -1。
    (b). 當n為一整數時，若 m 趨近一整數，則 [sin (m+n)p]/[sin (m-n)p] ® +1。[Hob, p.265, l.-8; 高中組 ]


  4. 計算 d (òg(t)h(t) f (k(t), s) ds) / dt。 [Cod, p.37, Problem 1; 高中組 ]


  5. 試證 ò0¥ cos (x2) dx = ò0¥ sin (x2) dx = 2-1(p/2)1/2。 [Inc1, p.173, l.2; 高中組 ]


  6. （連分數之收斂性）設為 a2, a3, a4, … 區域 D 上的多變函數。若 |ap+1| £ 1/4, p = 1,2, 3, …，則
    continued-fraction-worpitzky
    在 D 上均勻收斂; 此連分數之絕對值的上限為 2。[Wal, p.42, Theorem 10.1(a); A Convergence Theorem for Continued Fractions, by W. T. Scott and H. S. Wall (1939), p.159, l.-14-l.-11; 高中組 ]


  7. （用連分數表示遞推關係）在無限遞推序列 xn = bn xn+1 + an+1 xn+1 (n = 0, 1, 2, …) 中，設所有 an 均不為0及存在一個 xn 不為0。設 lim n®¥ an = a, lim n®¥ bn = b 。設方程 r2 = br + a 之二根的絕對值不等，而 r2 為絕對值較小之根。
    設當 r2 = 0 時，lim sup n®¥ |xn|1/n is finite﹔當 r2 ¹ 0 時，lim sup n®¥ |xn|1/n < 1/|r2|。則當 x1 ¹ 0 時， = x0/x1；當 x1 = 0 時，x0 ¹ 0 且 = ¥。[Perr, p.292, Satz 46D; 大專組 ]
    說明：此定理可用來解二次線性微分方程 [Inc1, §7.5]。


  8. 考慮馬修方程 d2y/dz2 + (l - 2q cos 2z) y = 0 之週期解。當 q = 0 時，其解為
    1, cos z, cos 2z, …
        sin z, sin 2z, ….
    馬修方程之一般對應解為
    ce0(z, q), ce1(z, q), ce2(z, q), …
                   se1(z, q), se2(z, q), …
     試證 ce0(z, q)
    = 1 + Ss = 1¥ {(-)s 2[s!]-2(q/4)s - (-)s2s(3s+4)[(s+1)!]-2(q/4)s+2 + O(qs+4)} cos 2sz    。
    [Guo, p.630, §12.9; 大專組 ]
    提示﹕由 [Wal, p.42, Theorem 10.1(a)] 知 [Guo, p.619, (9); p.631, (9)] 均收斂。
    說明﹕ I. 遞推公式與直達公式
    令 cos 2m z = Sn=0m amn cos 2nz。 我們可用下二等式寫下 amn 的遞推公式：
    cos 2m z = cos 2 z cos 2m-2 z; cos 2 z = [cos 2z +1]/2；也可用 cosn x = 2-n (eix + e-ix) n 推得 amn 的直達公式。遞推公式用歸納法將既有成果進行加工即可，不必從新開始。一切重來是數學上的大忌。既有成果辛苦得來；若廢棄不用，殊為可惜。而且不必要的計算在繁雜的演算中會帶來檢驗上的困擾。但遞推公式有缺點。例如一公式含估值項 O [Inc1, p.176, l.-17]，遞推公式 [Inc1, p.175, l.-8-l.-7] 僅能降低該公式的精確度，而無法提升其精確度。因這習題含估值項，故不適合用遞推公式。
    II. 量子力學中的不含時微擾理論 [Coh, vol. 2, chap. XI] 主要是根據馬修方程的解發展出來的。此事絕非偶然。馬修對理論物理有深入的研究，在1873到1890之間曾撰寫六冊數學物理﹕微分方程、毛細作用、電磁學及彈性。他是從物理的觀點來解微分方程的。


  9. 試證初值問題 y' = A(t) y + f (t) 及 y(t0) = y0 有唯一解，其中 t0Î[a, b], A(t) = (ajk (t)) 及 f (t) 均在 [a, b] 上為勒貝格可積。[Har, p.46, Exercise 1.2; 大專組 ]
    說明：Hartman 快刀斬亂麻，得庖丁解牛之妙；運籌帷幄有大將之風。解之存在性及唯一性可由巴拿赫不動點定理得之。


  10. 設 A 為一 n 階可逆矩陣且為上三角，試證 A-1 亦為上三角。[Har, p.49, Exercise 2.1; 高中組 ]


  11. 設 j、y 與 c 為 I = [a, b] 上的連續實值函數。設在 I 上 c(t) > 0 且
    ("tÎI, j(t) £ y(t) + òat c(s) j(s) ds)。試證在 I 上
    j(t) £ y(t) + òat c(s) y(s) exp( òat c(u) du) ds。[Cod, p.37, Problem 1; 高中組 ]


  12. 令 1 £ r £ n 且
    frobenius-factorization
    若 ("r1 £ r £ n, Dr¹0)，試證 Ur Dr-1 = Ur-1 Dr' - Ur-1' Dr。 [Inc1, p.120, l.-2; 大專組 ]
    說明：所證等式可用來證明下定理：
    欲得一 n 次線性微分方程之所有解基本上僅需作 n 次積分 [Inc1, p.120, l.-4]。


  13. （實際解以形式解為其漸近展式）
    試證 x"+x = (-1/4) z-2x 具下二線性獨立解：
    j1(z) ~ eiz Sk=0¥ [(2-1)k]2[k!(2iz)k]-1           (-p<arg z<2p)
    j2(z) ~ e-iz Sk=0¥ (-)k[(2-1)k]2[k!(2iz)k]-1           (-2p<arg z<p)     。
    [Cod, p.92, l.15; p.138, l.-7-l.-4; p.139, (1.6); p.141, l.3; p.166, (5.16) & (5.17); Wat1, §16.4; Guo, p.378, (3) & (4); 大專組 ]
    說明：當奇異點屬第二類型時，欲得解之最大定義域，其法如下：先在實線上得解之漸進展式，然後用殘數定理將展式轉變成積分形式。由被積函數極易看出解之自然定義域。參見 [Guo, p.134, (3); p.310, (1)]。此法似已定型且較 [Cod,§5.5] 中所述方法直接、自然。


  14. 月球每 27.3 日繞地球一周且其運轉方向與地球自轉方向一致。用此資訊證明世界各地 (兩極除外) 離月最近與離月最遠相隔 12 小時 26 分。[Mari, p.206, Problem 5-19; 小學組 ]


  15. 設 A 為ㄧ n´n 矩陣。其元 aij = Ss£k£t zki zkj。試證 A 為正半定。
    [Cod, p.247, (ii); p.263, l.4, (ii); 高中組 ]


  16. 設 Lx=-x''+qx，其中 q 為 [0,¥)上的連續實函數且當 t®¥ 時， q(t)®¥ 。試證 L 屬極限點情況。試證 Lx=lx, sin ax(0)-cos ax'(0)=0之譜函數 r 為一階梯函數，其不連續點位於 {lk}, k=0,1, …，其中 l0<l1<…。試證特徵函數 yk=y(t,lk) 在 (0,¥) 上恰有 k 個零點。 [Cod, p.254, Problem 1; 大專組 ]


  17. 令 Lx = Sj=0n+1 (pn-j x(j))(j)，其中 pn-jÎC2j 在 [a,b] 上為實值且 p0(t) 在 [a,b] 上不為 0。令 Ux = 0 為 x(j)(a) = x(j)(b) = 0，其中 j = 0, 1, …, n-1。試證此系統為自共軛。[Cod, p.201, Problem 3; 大專組 ]
    說明：如何找出公式 C(n+1,m) = Sj=0n+1 (-1)j C(n+1,j) C(2n+2-j,m-j) 乃此問題之關鍵所在。


  18. 試證 Sj=1n sin (jrp/(n+1))sin (jsp/(n+1)) = 2-1(n+1)drs，r,s=1,2, …, n。 [Mari, p.505, (12.160); 初中組 ]


  19. 設 D=d/(d cos q)。 若 Dn-1 sin 2n-1q=A sin nq，其中 A 為常數，試證 nA=(-1)n-11.3.5...(2n-1) [Wat, p.28, l.14; 大專組 ]


  20. 試證若 z=m+hf(z)，則f(z)=f(m)+Sn=1¥(n!)-1hn(dn-1/dmn-1)[f(m)nf'(m)]。[Wat, p.28, l.18-l.19; Wat1, p.133, l.11; 大專組 ]


  21. 試證 cos 2nq=Ss=0n(-)s n(n+s-1)![(n-s)!(2s)!]-1(2sin q)2s與
    sin (2n+1)q=2-1Ss=0n(-)s(2n+1)(n+s)![(n-s)!(2s+1)!]-1(2sin q)2s+1 。 [Wat, p.33, l.17-l.18; Hob18, p.48, (28) & (29); p.107, (7); p.108, (10); 初中組 ]


  22. 試證 -ln (1-z)=Sn=1¥zn/n，其中 zÎB(0,1)\{1})。[Wat, p.68, l.17; 大專組 ]


  23. 試證 -ò0p/2 cos2nq ln sin q dq = (2n)! 2-2n(n!)-2{2-1p ln 2 +4-1p(1+2-1+…+n-1)}。[Wat, p.70, l.8; 大專組]


  24. 設 ber (z) = Sm=0¥ (-)m(z/2)4m[(2m)!]-2 且 bei (z) = Sm=0¥ (-)m(z/2)4m+2[(2m+1)!]-2。
    試證 ber2(z)+bei2(z) = Sm=0¥(z/2)4m[(m!)2(2m)!]-1。 [Wat, p.82, (11); 高中組 ]


  25. 試解 du/dt+Au2=btm。[Wat, p.1, l.15; p.91, l.10-l.18; Murphy, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, III. (1830), pp.440-443; 大專組]


  26. 試證 1F1(a; r; z) = ez 1F1(r-a; r; -z) 。[Wat, p.102, l.18-p.105, l.2; 大專組]
    註. 此習題看似平常，卻內含玄機。設 N 為自然數。若 rÎC\{0, , -2, -3,… }，則合流超幾何級數 [confluent hypergeometric series] 1F1(-N;r; z) 具有限項；若 r = -N, -N-1, -N-2,… ，則具無限項 [Wat, p.103, (3)]。有興趣的讀者可試證 [Wat, p.104, (7)] 若且唯若 [Wat, p.54, (4)]。參見 [Wat, p.105, l.1-l.2]。


  27. 單葉雙曲面有兩組生成線。將每組生成線作為一集，試證此兩集無共同元。 [Bel63, p.148, l.-11-l.-9; 初中組]


  28. 設 q 為平面 ux+vy+wz=0 與錐 f(x,y,z)=ax2+by2+cz2+2fyz+2gzx+2hxy=0 之交線的夾角。則 q 滿足 [Bel63, p.91, l.-13] 中等式，其中 P2 為 [Bel63, p.91, l.-13] 中行列式。[初中組]


  29. 中心二次曲面 (central conicoid) 的準球面 (director sphere) 為 x2+y2+z2=a-1+b-1+c-1。[Bel63, p.103, Ex.1; 初中組]


  30. (三平面之交集) 考慮 [Bel63, p.49, (1), (2), & (3)] 中的方程組。令 r =係數矩陣之秩且 r′ =增廣矩陣之秩。試證下二分類法等價：[Bel63, §45; 初中組]
    情況序號 代數分類法 幾何分類法
    1 r = 3 三平面相交於一點。
    2 r =r′ =2；增廣矩陣無二列 成比例。 三平面相交於一直線。
    3 r =r′ =2；增廣矩陣有二列 成比例。 兩平面同；第三平面與其 相交。
    4 r = r′ = 1 三平面同。
    5 r = 2, r′ = 3；係數矩陣無二 列成比例。 法線共面；平面兩兩相 交；交線形成稜柱。
    6 r = 2, r′ = 3；係數矩陣有二 列成比例，但增廣矩陣之 該二列不成比例。 二平行平面均與第三平面 相交。
    7 r = 1, r′ = 2；增廣矩陣無二 列成比例。 三平面平行且互異。
    8 r = 1, r′ = 2；增廣矩陣有二 列成比例。 兩平面同；第三平面與其 平行。

  31. 設 P'(x',y') 在半徑為 r 之圓內， QP'R 為過 P'(x',y') 之弦。試證 -(x'2+y'2)+r2=QP'·P'R。[Fin, p.46, Example 2; 初中組]


  32. 直立圓錐之任一平面截線為二次曲線。[Fin, p.140, l.17; 初中組]


  33. 設 U=0 為一二次曲線且 l=0 為一直線。則 U+ll2=0 與相切於 U=0 與 l=0 之交點。[Fin, p.142, l.-10-l.-1; 初中組]


  34. 求在 x2/a2+y2/b2-z2/c2= 1 上過點 (a cos a, b sin a, 0) 之二生成線。[Bel63, Appendix, p.iv, l.-15-l.-6; 高中組]


  35. 直線 (x-a)/l=(y-b)/m=(z-g)/n 與二次曲面 x2(a2-l)-1+y2(b2-l)-1+z2(c2-l)-1=1 相切若且唯若
    S(bn-gm)(a2-l)-1(b2-l)-1 = l2(a2-l)-1+m2(b2-l)-1+n2(c2-l)-1。[Bel63, p.180, l.11-l.17; 高中組]


  36. 過橢圓外一點用幾何方法作切線。[http://www.nabla.hr/CS-EllipseAndLine2.htm; 初中組]


  37. 設平面 Q 為 P 對橢球之極面且設平面 Q 截橢球於橢圓 E。試證連結 P 與橢球中心之直線通過橢圓 E 之中心。[Bel63, p.184, l.12-l.13; 初中組]


  38. 設二次曲面 S'=0 與二次曲面 S=0 相切於 A, B 兩點；設弦 AB 的方程為 u=0, v=0。則 S'=0 的一般方程為 S+lu2+2muv+nv2=0。[Bel63, §170; 高中組]


  39. 試證雙曲拋物面為劈錐曲面。[Bel63, p.63, Ex. 3; 高中組]


  40. 設 a>b>c 。試求圓 x2+y2=b2 與橢圓 a2x2+c2y2=a2c2 之公切線。[Bel63, p.269, l.15-l.16; 初中組]


  41. 試證波面有四奇切面。[Bel63, p.269, l.-2-l.-1; 高中組]
    註. 拐切線、重點、奇點、錐頂點的概念極易混淆，此習題有助於澄清其細微差異。


  42. ㄧ可展曲面是其脊線的密切平面之包跡，也是該脊線之切線所成軌跡。[Bel63, p.317, l.14–l.16; 高中組]


  43. 試證錐面為可展曲面。[Bel63, p.120, l.2; p.314, l.-8; p.315, l.-2-l.-1; 高中組]


  44. z = f(x,y) 為可展曲面若且為若 s2 = rt。[Bel63, §217; 高中組]


  45. 設r>0。試證存在 Cr 使得 |f+g|r£Cr(|f|r+|g|r)。[Boro, p.111, l.5-l.6; 小學組 ]


  46. 若隨機變數 x 之分佈具密度 f，則當 t ®¥ 時，jx(t)®0。若 f 具可積導數 f ', …,f(k)，則當 t ®¥ 時，jx(t) = o(|t|-k)。[Fel, vol. 2, p.514, Lemma 4; 大專組 ]


  47. (Lommel 公式) 試證 Pr=0n-1(J+a-2gb)(J+a-2bn-2gb)u=(-)nb2nc2nz2nbu 之解具形 式
    u =z bn-aCn(gzb)，其中 J=z(d/dz), g= c exp(rπi/n) (r = 0, 1,… , n − 1)。[Wat, p.107, l.13-l.16; 大專組 ]
    應用. 上公式可用來解方程 (d2/dz2){z4m(d2u/dz2)}=z2mu (m== 0, 1, 4/5, 3) [Wat, p.107, l.19-p.108, l.9]
    註. 對於 [Wat, p.107, l.16] 中之 r，由 [Guo, p.350, (18)] 知無需取 r = n, n + 1, … , 2n − 1。


  48. 若 Riccati 方程 dy/dx = azn+by2 之解可表為有限項，試證 n = -2 或 -4m/(2m±1) (m=0, 1,2,…)。[Wat, p.123, l.23-l.26; 大專組 ]


  49. 設 P 為曲面上一點。過此點在曲面上作一束短程線，試證此束短程線橫截其正交軌線。[Cou, vol. 1, p.213, l.-4-l.-3; 大專組 ]


  50. 試證 Qn(m)=2-1Pn(m) log [(m+1)(m-1)-1)]-Ss=0p(2n-4s-1)(2s+1)-1(n-s)-1Pn-2s-1(m)，其中 p = [(n-1)/2]。[Sne56, p.156, l.-7, (6); 大專組 ]


  51. 試證 ò01(R-3-1)-1/2=p1/2G(5/6)/G(1/3)。[Lan6, p.25, l.7; 大專組 ]


  52. 試證 ò0¥x-1sin (ax)J0(ax)dx 為 p/2 若 0£r< a；sin-1(a/r) 若 r> a。[Sne66, p.28, l.6, (2.1.15); 大專組 ]
    提示：參見 [Ru2, §10.44]。


  53. 試證 ò0p(a-ib cos q)-1dq=p(a2+b2)-1/2，其中 Re (a±ib)> 0，所取平方根須滿足 |a+(a2+b2)1/2|> |b|。[Wat, p.384, l.6; l.12-l.13; 大專組 ]
    提示：參見 [Con, p.112, Example 2.9]。


  54. 試證 (i). e-mpiQnm(cosh a)=(p/2)1/2G(m+n+1)(sinh a)-1/2P-m-1/2-n-1/2(coth a)。
    (ii). ò0¥ e-t cosh a In(t)tm-1dt=ie-mpi(2/p)1/2Qn-1/2m-1/2(cosh a)(sinh a)1/2-m，
    其中 Re (m+n)> 0，Re (cosh a) > 1。[Guo, p.293, Ex. 57; Wat, p.388, l.3; 大專組 ]


  55. 試證 (i). sin (nz)= n sin z 2F1((1-n)/2, (1+n)/2; 3/2;sin2z)。
    (ii). ò0¥ e-t cosh a Kn(t)dt=p(sin np)-1sinh (na)(sinh a)-1。[Sne56, p.40,l.4; Wat, p.389, l.12, (9); 大專組 ]


  56. 試證 S 2nanxn(1-x)/(1-x2n) 在 [0,1] 上均勻收歛。[Brom, p.114, l.-2; 大專組 ]


  57. 試證 San(z/t)n 在 (z,t) 上均勻收歛ÛSanJn(z)On(t) 在 (z,t) 上均勻收歛。[Wat, p.274, l.3-l.5; 大專組 ]
    注意Ü 的證明須假設 |t| 有界。


  58. 設 x>0，Ân<1/2 且 Â(n+1/2)>0。
    試證  ò1¥eixt(t2-1)n-1/2dt 在 t=¥ 收歛。[Wat, p.169, l.-3; 大專組 ]
    提示：用分部積分法。


  59. 求 ò0p/2 log sin x dx。[Brom, p.420, l.-10; 大專組 ]


  60. 試證 ò0¥ (sin2 x)/(x2)dx=p/2。[Brom, p.442, l.-12; 大專組 ]


  61. [Brom, p.441, Ex. 4; 大專組 ]


  62. 試證 ò0¥sin t·tn-1dt=G(n) sin (np/2)，其中 0<n<1。[Brom, p.447, l.10; p.474, l.11; Wat, p. 230, -10; 大專組 ]


  63. 試證 G11(0) = max-¥£t£¥G11(t)>0; 當 t® 0+ 時，dG11(t)/dt£0。[Matv, p.106, l.-7;l.-11-l.-10; 大專組 ]


  64. 試證 [Born1, p.899, (4); 大專組 ]


  65. 試證單葉雙曲面上任一點皆為雙曲點。[O'N, p.218, l.-7; 大專組 ]


  66. 設 M 為 E3 中一曲面。試證 [O'N, p.151, Exercise 13; 大專組 ]


  67. 試證 (/u)[(Ff2-Gf1)Q-1]+(/v)[(Ff1-Ef2)Q-1]
    =H2u'(v''+lu'2+2mu'v'+nv'2)-H2v'(u''+lu'2+2mu'v'+nv'2)。[Wea1, vol. 1, p.112, l.11-l.12; 大專組 ]


  68. 試證 [O'N, p.50, Exercise 12; 大專組 ]


  69. 試證 [Car, p.37, Theorem 2; 大專組 ]


  70. 試證局部流的存在性 [Car, pp.176-177, Theorem 2 或 Cod, p.25, Theorem 7.2; 大專組 ]


  71. 試證 [Str, p.29, Fundamental theorem for space curves; Bla, p.168, Theorem] 並證 [Wea1, p.93, (5)] 與 [Wea1, p.97, l. -7-l.-1] 中任一式等價。[ 大專組 ]


  72. 試證 Codazzi 方程與「Weingarten 方程的相容條件」等價。[Str, p.111, l.-3-l.-1; 大專組 ]


  73. 如何使曲線的稜角變光滑？[O'N, p.347, l.12-l.15; 大專組 ]


  74. 試證 Sard 定理的強版本。[Ster, p.47, Theorem 3.1; 大專組 ]