數學扎記

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數學扎記

（10/5/2012）在網路上搜尋連分數的收斂性。有些是抄自 G. H. Hardy 的教科書，由於年代久遠，對解馬修方程並不適用。新進作者太重視一般化，雖有特色，對我無用。還有一些伸手要錢的雜誌從中作梗，使得上網搜尋特別費力。搜尋五日，一無所獲。今日偶然發現 H. S. Wall 的論文A CONVERGENCE THEOREM FOR CONTINUED FRACTIONS及其書 Analytic Theory of Continued Fractions。這正是我想念的東西。連分數、馬修方程與微擾理論均極繁瑣且互相牽連，但由於是兵家必爭之地，一定得弄透徹。

（12/15/2012）生存之道：柔弱生之徒，老氏戒剛強：找別人不願做的工作，總有收入﹔買快過期的菜，比較便宜；忍他人所不能忍的氣，以成志業。工欲善其事必須活得長，所以應注意飲食與運動。
學科分類：學術精細分工之後，單一領域的專家，可能對其他領域一無所知。現在寫一篇學術論文得注明該文的領域。但跨域的論文有誰看呢？難道這些論文都沒水準嗎？

（12/16/2012）生活在網路時代，只要有些基礎，雖獨學而無友，亦能博學而多聞，而且自在消遙少羈絆。圖書館、書包、書本、筆記本都不需要，只需一台筆電。

（3/14/2013）以前是看完一本書再看第二本書，現在想著應該是學完一論題再學第二論題。因為任何一本書都不可能將某論題講得很完善，而熟悉該論題的環境需花費很大的精力。與其在三個不同的時間，從頭開始得到三次不同的模糊概念；不如一鼓作氣念三本書的同一論題，得到不同的觀點，將其中道理融會貫通，一次徹底瞭解清楚。例如學「解之穩定性」應當將李雅普諾夫函數 V 視為一般化的能量函數，將 dV/dt 視為一般化的耗散函數。穩定理論是用數學的語言來解釋某些物理現象，經過抽象化而作成的理論。做這些準備工作大約需要一週的時間。遇到一定理時，應想想它的物理意義是什麼，因為抽象的東西只是實體的影子。若不這樣做，研讀理論好的話如同嚼蠟，壞的話便如同捉風捕影了。

（3/17/2013）以前認為書中的定理只需依據章節編號即可，無需特別給個名字。多個名字會增加學生記憶的負擔，而且容易讓學數學的人養成沽名釣譽的心理。最近遇到一習題 [Cod, p.37, Prob. 1]，我花了三天也解不出來。 [Har, p.24, Theorem 1.1] 的內容與其相似，卻有一個名字，Gronwall's inequality。於是我就用 "Gronwall's inequality" 上網搜尋，結果在維基百科找到原來習題的解答；解法頗為詭異。由此可見給予定理專有的名字，不僅利於公開討論，而且便於上網搜尋。

(3/28/2013) 前幾天發現萊文森的錯誤。他採用如下論證：
若 [((A 且 C)ÞB) 且 (BÞC)], 則 (AÞB) (*),
其中
A = [Cod, p.318, (1.16) & (1.17)];
C = [|j(t)|£d 且 Cod, p.319, (1.22)] (參見 [Cod, p.319, l.15-l.16]);
B = [Cod, p.319, (1.23)]。
若在(*)中將B代如C，我們將得 (AÞC) 的錯誤結論。可見萊文森的論證是錯的。我們至多只能說在A的假設下，B與C等價。看見萊文森用盡吃奶的力氣仍然證錯，不得不佩服龐特里亞金的高瞻遠矚。參見 [Pon, p.208, Theorem 19] 的證明。萊文森的證明可用下法改正：
即使 [Pon, p.211, l.-11] 比 [Cod, p.319, (1.23)] 的估計效能較差，我們可用它來證明C。由此可得更好的估計B。

(4/10/2013) 縮減為較少方程組實為參數變值法的變型 [Cod, p.71, l.-2-l.-1]。比較 [Har, p.50, Lemma 3.1] 和 [Har, p.48, Theorem 2.1] 的證明比比較 [Cod, p.73, Theorem 2.5] 和 [Cod, p.74, Theorem 3.1] 的證明更易看出此論點﹔這是因為哈特曼採用矩陣記號使證明結構清晰化。[Har, p.50, l.9] 中的代換 y=Z(t)z 與 [Har, p.48, (2.1)] 對應﹔[Har, p.50, (3.6)] 與 [Har, p.48, (2.4)] 對應。然而哈特曼卻未指出上述重要論點。

（4/13/2013）現在才發覺3月17日所說解不出的問題竟是我在多年以前曾經做過的習題，而且證明比維基的證明簡單。

（4/14/2013）[Har, p.60, l.14-l.16] 給我深刻的印象；[Har, p.60, l.-12-l.-6] 解釋得很詳細。後來 [Cod, p.78, l.-10-l.-7] 發覺簡單扼要，而 [Cod, p.80, l.8-p.81, l.6] 解釋得很清楚。

（4/17/2013）今天將高次線性微分方程與線性微分方程組的對應關係作成一表。如何安排使各種性質與關係一目瞭然，很費周折。除了非齊次線性系統之解外，所有的性質都是在高次線性微分方程的情況下，看來較自然且簡單。又發現 [Har, p.64, (8.5)] 中之 u 不應擺在第一行，應擺在最後一行。因為此 u 可視為 [Har, p.64, (8.4)] 中之 u_d ，也可視為 [Bir, p.36, (12)] 中之 g。

（4/21/2013）今天發覺 [Har, IV, §9(ii)] 有關實約旦範式的部分寫得亂糟糟。讀了 http://www.numbertheory.org/courses/MP274/realjord.pdf 之後， [Har, IV, §9(ii)] 不必細看。

（4/25/2013）有關拉格蘭奇等式的證明，[Har, p.66, l.-12-p.67, l.5] 的方法比 [Cod, p.86, l.1-l.15] 的方法好。

(5/10/2013) 近讀吉田耕作所寫有關富克斯定理 [Yos, p.37, Theorem 12.1] 的證明。其環境單純，證明一氣呵成，且能突出重點。[Har, p.85, Theorem 12.1] 與 [Cod, p.125, Theorem 5.2] 的證明均嫌支離破碎，對不重要的地方做不稱比例的膨脹，以致難以洞察其重點。在複雜的環境下，遇到問題，常感茫然無緒，束手無策。譬如欲證 [Har, p.85, l.-3-l.-2] 或 [Cod, p.125, l.11-l.14] 中之命題，若引用 [Har, pp.70-71, Theorem 10.1] 或 [Cod, p.109, Theorem 1.1] 之證明，因其對此問題言作了無必要的複雜化如約旦範式，故查證困難。若閱讀 [Yos, p.37, l.-1-p.39, l.16]，將論證一般化，即得解答，且解法具啟發性。

(7/7/2013) [Inc1, p.212, l.8] 提到 V₁, V₂, … ,V_2n-m 僅由 U₁, U₂, … ,U_m 決定。我花了兩天的時間欲將
V₁, V₂, … ,V_2n-m 以 U₁, U₂, … ,U_m 表示，但總覺使不上力。閱讀 [Inc1, p.212, l.9-l.14] 後方知其原義僅為「一旦 U₁, U₂, … ,U_m 決定後，即使 U_m+1, U_m+2, … , U_2n 改變成 U'_m+1, U'_m+2, … , U'_2n，V'_i = 0 (i = 1,2, … , 2n-m) 仍可以 V_i = 0 (i = 1,2, … , 2n-m) 代之」。因斯數學功力雖強，其寫作能力卻不甚高明。

(8/11/2013) [Inc1, p.227, l.-6] 中之公式是對的；而 [Inc1, p.227, l.-3] 中之公式有小錯。R.S. Johnson 所著 An introduction to Sturm-Liouville theory, p.20, l.20, l.3 將因斯之錯式認為是對式；同書 [p.19, l.-1] 將因斯之對式改成錯式。因斯言之不詳；約翰遜思之不密。蓋嘆因斯之簡，而笑約翰遜之陋也。

(8/19/2013) 昨日將 "(l₀=L₁Û(G₁º, a₁'=0, b₁'=0)" [Inc1, p.235, l.4-l.5] 之證明上網。初稿生硬零亂，但一時不知如何修改。在陪同家母沿新街溪散步時，突然想出系統整理之妙策，遂得珠圓玉潤之證明。

(10/1/2013) 從前念 [Inc1, p.237, l.4-l.14; p.241, l.-2-l.-1] 時，似懂非懂。今日閱讀 Bôcher 的論文 The smallest characteristic numbers in a certain exceptional case 後，依其方法把前述未看懂的地方搞通了。 Bôcher 的論文可謂有深度：能搔到癢處並提升讀者的功力。設法將類似之事扮演相同的角色是我早想提筆寫的東西；今日總算找到二例上網。

(10/7/2013) 作為數學家說話務必斬釘截鐵。口氣不夠肯定容易使讀者無所適從。[Inc1, p.243, l.13-l.14] 說 u_i(x) 可認同為 y₂(x, m_i)。可以這樣，是否也可以那樣呢？[Cod, p.216, l.2] 說 y(x, m_i) 為特徵函數；其語氣肯定，不容第二種解釋。

(10/8/2013) 讀數學書只需看主要結果 [Inc1, p.247, l.17-l.20; Cod, p.214, Theorem 3.1]。後者資料略豐，因其包含 [Cod, p.213, (3.2)] 的情況。[Cod, p.215, l.6, l.8, and l.11] 可補 [Inc1, p.247, l.1] 之不足。閱讀 [Cod, p.215, (3.14)] 之後，方知 [Inc1, p.246, l.23] 中之等式在 l 為二重根時始成立。此二參考書的資料可互補，亦可兩相對照。至於為何 F 在 (L₁, n₁) 中有偶數根 [Inc1, p.244, l.16]，因此問題與主要結果無關，可不必去理會。

(5/6/2014) 早上看不懂 [Cod, p.252, l.-6]，似乎一時也想不出解決的辦法。呆坐無益，只好走出書房去逛超市。剛出超市就想到答案的關鍵應在 [Cod, p.227, (2.11)]。

(5/28/2014) 今日學術界的問題在於發表論文。為表現自己有本事，故意寫得讓人看不懂，以致言之無物的垃圾作品充斥於世且讓有價值之著作反遭埋沒。遠離學術界可保持純真與誠實，不必自欺欺人或作踐自己。

(6/8/2014) 書中的錯誤可衡量對理論瞭解的程度。第一層次看過去沒有錯誤的感覺；第二層次看過去有錯誤的感覺，但不知錯誤在哪裡；第三層次看過去能指出錯誤所在，但不知如何更正。第四層次看過去知道如何改正錯誤。

(1/13/2015) [Bel63, p.50, l.1-l.4] 中之命題有錯誤，難怪我花了許多時間也證不出來。例如在
x-y+2z=-1,
x-y+2z=3,
x-3y+z=0
之情況下，A₁¹0¹A₂，但第一平面與第二平面平行。事實上，[Bel63, p.49, (5)] 就犯了錯誤，因其未考慮兩平面平行的情況。撰寫論文時，篇幅所限，不便更正。這些錯誤均由於作者粗心所造成。

(2/5/2015) 有關 [Bel63, p.126, l.5-l.8] 的證明，上次開砲打偏了，這次正中紅心。

(3/19/2015) 這週收穫不少：發現笛卡兒坐標無能力區分所有方向的無窮遠點；有關能淘汰多數選項的方法，也找到範例。

(3/21/2015) 就微觀而言，如何使歸謬論證變得更直接，現已有滿意解答：建立細密的定理流程圖。有關歸謬證法的論文總算可以告一段落。

(3/26/2015) 有關橢球系統的討論，[Dassios, Ellipsoidal Harmonics, p.6, l.10-l.-1] 比 [Bel63, §116] 完整詳盡。不過前一書寫得頗簡略，作者與讀者的互動比率是 50% 對 50%。即作者教 50%，讀者想 50%。有時讓讀者多想想並非壞事。

(4/2/2015) 將 [Bel63, p.184, l.12-l.13] 中的命題證了四、五次；每次證完又發現問題再重證。經過四、五次之後，才算滿意。該命題堪稱難題。

(9/22/2015) 證明 [Chu, p.133, Theorem 5.4.2, (9)] 為偽。當問題解不出時，覺得花時間想問題不值得；當問題解出後，覺得花時間想問題增進了澄清混淆的能力，很值得。

(12/18/2015) 一般的存在性由建造存在、歸謬存在、假設存在所混成。今日更增近存在與遠存在，其目的在於更能細分有效性。

(12/20/2015) 念數學七部曲：一、瀏覽；二、精讀；三、搞懂；四、看出結構；五、釐清混淆；六、到位，即了解各定理在理論中所扮演的角色；七、靈活運用。切記躁進；若有一部未做好，回頭彌補後再往前走。

(12/29/2015) 今天總算真正看懂 [Har, pp.12-13, Theorem 3.1]。該正面講，作者卻以反面說明，所以不容易懂。

(3/24/2016) 比較 [Fomi, p.198, Theorem] 之證明與 [Cod, p.197, l.7-l.8] 中命題之證明可知前者之特徵值均屬建造存在，而後者之特徵值均屬歸謬存在。

(7/11/2016) 數學方法：例、廣義取向。

(12/12/2016) 為了解釋 [Wat1, p.338, l.-2-l.-1]，證得下三等式等價：
(a). F(-n,b;c) = (c-b)_n/(c)_n。
(b). (x+a)_n = S_k=0ⁿC(n,k)(x)_k(a)_n-k。
(c). C(x+a,n) = S_k=0ⁿC(x,k)C(a,n-k)。
證畢，吟詩一首。〈運思〉：集中火力猛進攻，茅塞思路盡打通。昨日猶覺亂紛紛，今朝一劍定乾坤。

(1/1/2017) 昨日將 Leb, §9.5 及 §9.7 的材料加進〈存在性〉的論文中，在效能方面添增勁道及新血。

(1/8/2017) 存在性：方法解。

(7/4/2018) 發表關於 Boundary value problem for a vector potential 的定理。
[Sad, §11.4] 對輸電線的 SWR 僅作蜻蜓點水的描述；還得參照 Rutgers 的講義，一鼓作氣，將其讀通。不待此時，更待何時？

(9/19/2019) 看出 [Arn1, chap.1, §6] 將整流誤認為分離變數法。

(9/28/2019) [Spi, p.200, l.-4-l.-3] 中之定理僅為 [Pon, p.177, (B)] 之改版。

(10/2/2019) 證出 [Spi, vol.1, p.214, l.-] 中等式。

(10/15/2019) 發表「從證明一開始瞄準正確目標、採用直接策略，可避免使用歸謬證法。」

(10/26/2019) 自然結構：經由對應定理的自然版本，追查來龍去脈以認清萬流歸宗。

(2/2/2021) 對選擇 ODEs 解法的正確態度：最有效能的方法為第一選擇。

(3/23/2021) 我在寫數學方法，關於平穩曲率的二三事的項目時，原來只打算寫 I、III、IV。但在寫下 I 的過程中，突然發現先前忽略了某項事實。細心追求下，寫出 II。後來發現 II 是數則心得中最出色的。所以發現歷程的曲折離奇，實難逆料。

(3/24/2021) 如何利用先前所作的筆記：譬如我需要用到 "acceleration is preserved by isometries" [O'N, p.326, l.17]。以前曾經證過此一事實，但現在卻不知如何下手。這時便需要翻閱先前所作的筆記。需要另外拿出一張計算紙，再仔細地重證一次嗎？不必。只需將先前的證明仔細瀏覽一遍，看進多少算多少。主要看它用到那些定理，而這些定理是怎麼講的。將這些理念連成一氣，讓自己有把握能詳細寫下證明就可以了。

(12/5/2021) 代數拓撲濫用歸謬證法；消除定義中的否定及不定成分；Per, p.158, l.-6 中之{r_nÎN|n³3}可用 (0,1) 中任一可數稠密實數集代之。

(9/9/2022) 用 [Stra, p.36, l.-4-l.-2] 更正 [Wangs, l.-9-l.-8] 中的錯誤。想不出改錯的方法，花了一天找資料。