複底．殘形．美學 殘形美學與國畫

回溯到我們最初選擇這個研究方向的動機，是在數學圈雜誌上看到 幾幅「殘形」開始一一這可說是我們第一次看到殘形。這些殘形 所呈現出來無窮盡的玄機，牢牢地吸住了我們的目光。由於 這一次純粹美感的接觸，引發了我們與生俱來的好奇心，於是進而去探 索其中深藏的數學上的美。

在整個研究過程中，隨著理論方面的日益充實，涵蓋範圍的囗漸拓 展，我們發現了許多意想不到的殘形，令人目眩神馳。這些殘形圖案常 常給我們許多靈感與啟示。

最重要的，這些五花入門的圖形，大大地沖淡了本研究在數學理論 上的生硬感，使我們的作品無形中更加搶眼。就算是外行人，不看理論 上的成果，光欣賞我們的圖形，也會深受震撼的。

在研究草創階段，我們選取的基底還在複整數系中，digit集仍侷限於自然digit集，後來，由於突破性的推 廣：以方陣為基底，一下子產生無窮多的變化，各種殘形紛紛出籠，令我們目不暇接。 這種殘形的美可分成兩類 : 第一種是邊界上的殘形，如 b=1+i，我們注目的焦點在於它的邊界曲線（不是普通一維的線）， 所表現出來的內在位似。第二種美感來自整個殘形的殘缺斑斕、疏落有 致的美。第一種殘形其維數為2，然而其邊界曲線的維數則介於1與2 之間，第二種殘形是無窮多個點散置於平面上，其維數D介於O與2之間 ，也就是說，它是一種介於點與平面間的怪物。

關於邊界曲線的美，我們可以發現，維數大的曲線，看起來相當崎嶇 ；維數小的曲線，則平滑得多，以地理學的術語來說，像岩岸的曲線， 具有起伏劇烈的美，而屬於沙岸的曲線，則具有局部上玲瓏精緻的凹凸 現象，看來相當可愛。總而言之，殘形之所以美，正因為它具有殘形獨具的「缺陷美」，而這種美，在殘形維數適中（不接近整 數）的情形下最明顯。

離散的殘形，情形更有所不同。這些殘形的美，可以一言以蔽之：疏落有致。

我們發現這些殘形與國畫山水中的筆法有神似之處。像國畫筆法中 的山石皺法——大、小斧劈皺、披麻皺、荷葉皺等等，或是樹葉的點法 ：介字點等等，以及浪花、沙洲的筆法，在我們用電腦所畫的殘形圖案中，都可 以找到一些痕跡。

　電腦畫國畫！

介字點 ( 3 -1 ) b = ( ) ( 1 3 )	山石皴法 ( 2 -1 ) b = ( ) ( 1 3 )

這是國畫中特別注重運用毛筆的皺擦，以及墨色的乾濕濃淡變化，才能 造成殘形獨具的風格——像皺法中呈現出來有如「飛白」的效果，細部 有疏密不一的墨跡，即具有殘形的特色。又例如山石邊緣因為點苔或濕 筆渲染所呈現出來毛絨絨的效果，使其邊緣的維數略大於 1。此外樹葉 的點法也有類似的效果。
例如李唐的「萬壑松風圖」上方的樹頂端即呈 現出不同維數的殘形，尤其右方的樹葉與b=1+i的殘形在局部上幾無二致。另外 范寬「谿山行旅圖」的樹叢也是很典型的殘形，其中上方的樹叢邊緣 的維數小於中下方樹叢邊界的維數。此外，郭熙的「早春圖」整個給人 一種奇特的感受，而畫中的樹邊界維數出奇的大，幾乎接近2維，是故 呈現突出的風格。郭熙畫山石如亂雲，這兩者都是殘形！（註）

國畫把墨色的變化發揮到了極致，是西洋繪畫所 難望其項背的，或許這殘形的美，也是中國山水畫能昂然卓立於世界眾 多畫派中間而歷久不墜的一個鮮為人知的原因吧。

在殘形世界中，有許多是常常看到，俯拾可得的，但也有許多是 人們不熟悉的，抽象但美麗的圖案，假如讀者有興趣，可以嘗試運用不 同的基底及數位集來畫，讓電腦充分發揮計算與繪圖的長處。

當然，「殘形雕塑」也是另一個有待探索的方向，我們到現在為止 ，尚未做出一個立體的殘形。立體的殘形必須要以3X3的矩陣為基底 ，其變化也是無窮盡的，但是在製作上有技術方面的困難。

註：「郭熙畫山水，石如鬼面，樹如鷹爪。山的皴法多 作「亂雲皴」又名「雲頭皴」。這種皴法是有人見到一片片的夏天浮雲，看上去好像是曾巒奇峰的樣子，於是仿照雲頭的形 狀，創出了雲頭皴。」引自http://www.hwh.edu.tw/~draw/