複底．殘形．美學

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由複底所畫出的殘形

我們在前面已證出以b=l+i，D為數位集之表示法無法填 滿整個平面，但若我們在平面上畫出其所能填滿的部分，且每多填一階 印將尺度縮小 2倍，經過無限多次的步驟，將可以得到如上的圖形

我們發現其圖形邊界上的曲線凹凸不平， 且具有內在位似，顯然為 一種殘形曲線，此一事實由Mendelbrot首次提出，文中並算 出其維數為 1.5236。

定義四：不完全數位集D : 將一由完全餘數系統所組成之集合減去若干 元素後所得之集合，稱之為不完全數位集D

很明顯的，當一個表示法以基底b及不完全數位集D所組成，則其所畫出的圖形，必定佈滿大小坑洞 ，而成不滿二維的殘形

定理四：以基底b，不完全數位集D，所成之表示法，在平面上所形成的殘形，其維數為

         log ( N(D) )
D = ---------------------
        log ( ｜b｜ )

證明：

因第N階殘形與第N+1階相似，其線比例S=｜b｜，而第N+1階殘形，為由N(D)個N階殘形所疊成，故得證